Question

Обчислити відстань між початку координат до вершини параболи y=-x2+10x-13

Answer 1

Ответ: 13 - расстояние.

Дано: y = -x² + 10x - 13

Найти: С=? - расстояние от вершины параборлы  до О(0;0)

Пошаговое объяснение: Рисунок к задаче в приложении.

Мысль 1. Как найти вершину параболы? Решаем квадратное уравнение и находим корни. Вершина по середине между корнями. Находим координату вершину.

Решаем квадратное уравнение. D = 48, √48 ≈6.928, x1 = 1.536, x2 = 8.464. Середина между корнями - х = 5 и значение У(5) = 12.

Сложно и не точно.

Мысль 2. Привести уравнение к виду: Y = (x+a)² + b.

Преобразуем по формуле "квадрат разности":

y = - (x² - 10x - 13) = - (x²- 2*x*5 + 25) - 13 = - (x-5)²+ 12.

Координаты вершины параболы в точке А(5;12).

И теперь по теореме Пифагора: расстояние между точками О(0;0) и А(5;12)

C² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²

C=13 - расстояние до вершины - ответ

Answer 2

Щоб знайти відстань між початком координат (0,0) та вершиною параболи, спочатку потрібно знайти координати вершини. Парабола у вигляді y = ax^2 + bx + c має вершину з координатами (h, k), де h = -b/(2a) і k = f(h).

У вашому випадку, парабола має вигляд y = -x^2 + 10x - 13.

Порівнюючи зі стандартною формою параболи, ми маємо a = -1, b = 10, c = -13.

Знаходимо h: h = -b / (2a) = -10 / (2 * -1) = 5.

Тепер знаходимо k, підставивши h у вихідне рівняння: k = -5^2 + 10 * 5 - 13 = -25 + 50 - 13 = 12.

Таким чином, вершина параболи має координати (5, 12).

Тепер, відстань між початком координат та вершиною можна знайти за допомогою теореми Піфагора, використовуючи координати точок:

відстань = √[(х2 - х1)^2 + (у2 - у1)^2]

де (х1, у1) = (0, 0) - координати початку координат, а (х2, у2) = (5, 12) - координати вершини параболи.

відстань = √[(5 - 0)^2 + (12 - 0)^2] відстань = √[25 + 144] відстань = √169 відстань = 13.

Отже, відстань між початком координат і вершиною параболи y = -x^2 + 10x - 13 дорівнює 13 одиницям.