Question

Решите однородное уравнение 1) sinx-cosx=0 2) sin²x-3cos²x+2sinxcosx=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1)sinx=cosx

   tgx=1

x=arctg 1

x=π/4+πn n∈Z

2)tgx²-3+2tgx=0

 Пусть t=tgx

t²-3+2t=0

t1=1 t2=-3

tgx=1             tgx=-3

x=π/4+nπ,n∈z        x=-arctg3+nπ,n∈z

Answer 2

Для решения однородных уравнений, мы должны найти значения переменных, при которых обе части уравнения равны нулю.

1. sin(x) - cos(x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем преобразовать его, используя тригонометрические тождества. Начнем с преобразования:

sin(x) - cos(x) = 0

Мы знаем, что sin(45°) = cos(45°) = √2 / 2. Поэтому, мы можем представить уравнение в следующем виде:

sin(x) - cos(x) = sin(45°) - cos(45°)

Теперь, применим тригонометрическое тождество: sin(a) - cos(a) = -√2 * sin(a + 45°)

sin(x) - cos(x) = -√2 * sin(x + 45°)

Теперь, чтобы уравнение было равно нулю, sin(x + 45°) должно быть равно нулю:

sin(x + 45°) = 0

Решим это уравнение:

x + 45° = n * 180°, где n - целое число

x = n * 180° - 45°

Ответ: x = n * 180° - 45°, где n - целое число.

2. sin²(x) - 3cos²(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Мы видим, что данное уравнение уже содержит две различные тригонометрические функции: sin и cos. Мы можем попробовать преобразовать его, используя тригонометрические тождества или факторизацию.

Начнем с преобразования:

sin²(x) - 3cos²(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Заметим, что sin²(x) - cos²(x) = sin²(x) - (1 - sin²(x)) = 2sin²(x) - 1

Теперь уравнение примет вид:

2sin²(x) - 1 - 3cos²(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

2sin²(x) - 3cos²(x) + 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Теперь мы видим, что это квадратное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Давайте заменим sin(x) = t:

2t² - 3(1 - t²) + 2t√(1 - t²) - 1 = 0

Упростим:

2t² - 3 + 3t² + 2t√(1 - t²) - 1 = 0

5t² + 2t√(1 - t²) - 4 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно t, решим его:

(5t - 4)(t + 1) = 0

Таким образом, возможны два случая:

1. 5t - 4 = 0 => t = 4/5
2. t + 1 = 0 => t = -1

Теперь найдем значения sin(x) и cos(x) для каждого случая:

1. sin(x) = 4/5 cos(x) = √(1 - sin²(x)) = √(1 - (4/5)²) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

2. sin(x) = -1 cos(x) = √(1 - sin²(x)) = √(1 - (-1)²) = √(1 - 1) = √0 = 0

Таким образом, решения уравнения будут:

1. sin(x) = 4/5, cos(x) = 3/5
2. sin(x) = -1, cos(x) = 0