Question

Найдите угол между касательной к кривой y=x^3+2x^2 в точке с абсциссой x=1 и прямой 2x-3y-3=0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

1. Находим уравнение касательной (достаточно только коэффициент наклона)

k = Y'(x) = 3*x² + 4*x

Вычисляем при х = Xo=1

k(Xo) = k(1) = 3 + 4 = k1 = 7 - наклон первой прямой (касательной). Y= 7*x - 4/

2. Находим коэффициент наклона второй прямой.

3*y = 2*x - 3

y = 2/3*x - 1.   k2 = 2/3 -

3. Угол между касательными находим по формуле "разность тангенсов".

tg(α) = (7-2/3)/(1+ 4*2/3) = 1 2/17 = 1.118

Угол - arctg(1.118) = 0.841 = 48.18° - ответ

Рисунки к задаче в приложении.  Удивительно, но очень походе на угол в 48 градусов.

Answer 2

Для нахождения угла между касательной к кривой и прямой в заданной точке, следует выполнить несколько шагов.

1. Найдите производную функции y = x^3 + 2x^2.
2. Вычислите значение производной в точке с абсциссой x=1, чтобы найти угловой коэффициент касательной.
3. Найдите угловой коэффициент прямой 2x - 3y - 3 = 0.
4. Используйте формулу для нахождения угла между двумя прямыми с известными угловыми коэффициентами.

Пошагово выполним расчеты:

1. Найдем производную функции y = x^3 + 2x^2: y' = d/dx (x^3 + 2x^2) = 3x^2 + 4x

2. Вычислим значение производной в точке x=1: y'(1) = 3(1)^2 + 4(1) = 3 + 4 = 7

Таким образом, угловой коэффициент касательной к кривой в точке x=1 равен 7.

3. Найдем угловой коэффициент прямой 2x - 3y - 3 = 0: Перепишем уравнение прямой в форме y = mx + b, где m - угловой коэффициент: 2x - 3y - 3 = 0 -3y = -2x + 3 y = (2/3)x - 1

   Угловой коэффициент прямой равен 2/3.

4. Найдем угол между этими двумя прямыми. Угловой коэффициент касательной (m1) равен 7, а угловой коэффициент прямой (m2) равен 2/3.

Формула для нахождения угла между двумя прямыми при известных угловых коэффициентах m1 и m2:

tan(θ) = |(m1 - m2) / (1 + m1 * m2)|

где θ - искомый угол между прямыми.

Подставим значения и найдем угол:

tan(θ) = |(7 - 2/3) / (1 + 7 * 2/3)| = |(21/3 - 2/3) / (1 + 14/3)| = |(19/3) / (17/3)| = |19/17|

θ = arctan(|19/17|)

Угол θ равен:

θ ≈ 47.59°

Таким образом, угол между касательной к кривой y=x^3+2x^2 в точке с абсциссой x=1 и прямой 2x-3y-3=0 составляет примерно 47.59°.