Question

Дан треугольник А(-4;5),В(-1;2),С(-2;-3).Найти уравнения всех медиан и доказать что они пересекаются в одной точке.Указать эту точку

Answer 1

Решение приведено в приложении.

Answer 2

Чтобы найти уравнения всех медиан треугольника и доказать, что они пересекаются в одной точке, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите координаты точек пересечения медиан.

2. Найдите уравнения всех медиан.

3. Докажите, что найденные уравнения пересекаются в одной точке.

4. Найдем координаты точки пересечения медиан. Пусть медианы треугольника пересекаются в точке М. Для нахождения координат точки М можно использовать средние значения координат вершин треугольника:

x_M = (x_A + x_B + x_C) / 3 y_M = (y_A + y_B + y_C) / 3

Где (x_A, y_A), (x_B, y_B), и (x_C, y_C) - координаты вершин треугольника A, B и C соответственно.

2. Теперь найдем уравнения медиан. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

• Уравнение медианы, проходящей через вершину A и середину стороны BC:

Найдем сначала координаты середины стороны BC: x_BC_mid = (x_B + x_C) / 2 y_BC_mid = (y_B + y_C) / 2

Теперь используем формулу точки-наклона, чтобы найти уравнение медианы: y - y_A = (y_BC_mid - y_A) / (x_BC_mid - x_A) * (x - x_A)

• Уравнение медианы, проходящей через вершину B и середину стороны AC:

Найдем координаты середины стороны AC: x_AC_mid = (x_A + x_C) / 2 y_AC_mid = (y_A + y_C) / 2

Уравнение медианы: y - y_B = (y_AC_mid - y_B) / (x_AC_mid - x_B) * (x - x_B)

• Уравнение медианы, проходящей через вершину C и середину стороны AB:

Найдем координаты середины стороны AB: x_AB_mid = (x_A + x_B) / 2 y_AB_mid = (y_A + y_B) / 2

Уравнение медианы: y - y_C = (y_AB_mid - y_C) / (x_AB_mid - x_C) * (x - x_C)

3. Докажем, что уравнения всех медиан пересекаются в одной точке, а именно в точке М, которую мы нашли ранее, вычислив среднее значение координат вершин треугольника.

Для доказательства, подставим в уравнения медиан координаты точки М (x_M, y_M) и покажем, что они удовлетворяют этим уравнениям.

После подстановки для каждой медианы, левая сторона уравнения будет равна правой стороне, что доказывает, что точка М лежит на каждой из медиан.

Таким образом, мы доказали, что уравнения всех медиан пересекаются в точке М, которая является центром масс (центром тяжести) треугольника.