Question

Решите пожалуйста!!! Очень срочно надо!!! Вычислить интеграл методом замены переменной (методом подстановки): определенный интеграл a=1, b=2 2x^3+1/x^2 все это dx.

Answer 1

$\int\limits^2_1\, \frac{2x^3+1}{x^2}\, dx=\int\limits^2_1 (\frac{2x^3}{x^2}+\frac{1}{x^2})\, dx= \int\limits^2_1(2x+x^{-2})\, dx=(2\cdot \frac{x^2}{2}-\frac{1}{x})\Big |_1^2=\\\\=(2^2-\frac{1}{2})-(1-1)=3,5$

Answer 2

Хорошо, рассчитаем данный определенный интеграл, используя метод замены переменной (подстановки). Для этого выполним следующую замену переменной:

Пусть u = x^2, тогда du/dx = 2x и dx = du / (2x).

Теперь заменим переменную x на переменную u в пределах интегрирования:

Когда x = 1, u = 1^2 = 1, Когда x = 2, u = 2^2 = 4.

Теперь перепишем исходный интеграл с учетом замены переменной:

∫(от 1 до 2) (2x^3 + 1/x^2) dx = ∫(от 1 до 4) (2u + 1/u^2) * (du / (2x)).

Мы знаем, что x = u^(1/2), поэтому (du / (2x)) = (du / (2u^(1/2))).

Теперь интеграл будет выглядеть так:

∫(от 1 до 4) (2u + 1/u^2) * (du / (2u^(1/2))).

Теперь проведем интегрирование:

∫(от 1 до 4) (2u + 1/u^2) * (du / (2u^(1/2))) = ∫(от 1 до 4) (u^(1/2) + 1/u^(3/2)) du.

Теперь найдем первообразную для каждого слагаемого:

∫u^(1/2) du = (2/3)u^(3/2), ∫(1/u^(3/2)) du = ∫u^(-3/2) du = (-2/1)u^(-1/2) = -2/u^(1/2).

Теперь проинтегрируем исходное выражение:

∫(от 1 до 4) (u^(1/2) + 1/u^(3/2)) du = [(2/3)u^(3/2) - 2/u^(1/2)] (от 1 до 4) = [(2/3)(4^(3/2)) - 2/4^(1/2)] - [(2/3)(1^(3/2)) - 2/1^(1/2)] = [(2/3)(8) - 2/2] - [(2/3)(1) - 2] = (16/3 - 1) - (2/3 - 2) = 15/3 - 2/3 = 13/3.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫(от 1 до 2) (2x^3 + 1/x^2) dx равно 13/3.