Question

Некоторое натуральное число умножили на 2, а затем прибавили к нему 1, затем вновь умножили на 2 и прибавили 1, и так много раз. Могло ли в результате получиться число, кратное 2012?

Answer 1

Ответ:

Нет

Пошаговое объяснение:

Пусть это число х. Тогда

(...(((((х+1)*2+1)*2+1)....)*2+1 =2012*z (z - коэффициент кратности)

(...(((((х+1)*2+1)*2+1)....)*2 = 2012*z-1

Слева - чётное число (т.к. что-то умножаем на 2), справа - нечётное (т.к. от чётного произведения отнимаем 1). Такого быть не может.

Answer 2

Да, могло получиться число, кратное 2012, при описанных операциях.

Это связано с тем, что при каждой операции умножения на 2 и прибавления 1 число будет принимать следующий вид:

1. Исходное число: N
2. После первой операции: 2N + 1
3. После второй операции: 2(2N + 1) + 1 = 4N + 3
4. После третьей операции: 2(4N + 3) + 1 = 8N + 7
5. И так далее...

Заметим, что разность между последовательными числами равна степеням двойки минус 1 (1, 3, 7, 15, 31, и т.д.). Это происходит из-за того, что каждый раз, когда мы умножаем на 2, мы добавляем к числу степень двойки, и прибавляем 1.

Мы хотим найти такое натуральное число N, чтобы 4N + 3 делилось на 2012 без остатка. Если найдется такое число N, тогда 2N + 1 тоже будет делиться на 2012 без остатка, так как оно получено из 4N + 3 умножением на 2 и прибавлением 1.

Мы можем записать это в виде уравнения:

4N + 3 ≡ 0 (mod 2012)

Для того чтобы узнать, существуют ли решения для этого уравнения, нужно проверить, делится ли НОД(4, 2012) = 4 на 2012. Если делится, значит, решение существует.

Выполним деление:

2012 ÷ 4 = 503

Таким образом, уравнение имеет решение, и натуральное число N, равное 503, позволяет получить число, кратное 2012. Теперь мы можем проверить это:

4N + 3 = 4 * 503 + 3 = 2012

Таким образом, ответ: да, число, кратное 2012, может быть получено при описанных операциях.