Question

Y=1-x^2/1+x^2 Помогите исследовать функцию и построить график

Answer 1

Ответ:

Получился какой-то головастик)))

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте исследуем функцию Y = (1 - x^2) / (1 + x^2) шаг за шагом.

1. Найдем область определения функции: Деление на ноль не допускается, поэтому область определения функции - все действительные числа, за исключением тех значений x, которые делают знаменатель равным нулю, т.е., x ≠ ±i (где i - мнимая единица).

2. Найдем значения функции в точке x = 0: Y(0) = (1 - 0^2) / (1 + 0^2) = 1 / 1 = 1

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При x = 0, значение функции равно 1, это и есть точка пересечения с осью y.
• При y = 0, уравнение (1 - x^2) / (1 + x^2) = 0 имеет одно решение: 1 - x^2 = 0, откуда x^2 = 1, а значит, x = ±1. Это даёт две точки пересечения с осью x: (-1, 0) и (1, 0).

4. Найдем производную функции и множество её точек разрыва: Y' = d/dx[(1 - x^2) / (1 + x^2)]

Для упрощения, обозначим числитель как u и знаменатель как v: u = 1 - x^2 v = 1 + x^2

Теперь найдем производную u' и v': u' = d/dx(1 - x^2) = -2x v' = d/dx(1 + x^2) = 2x

Теперь, используя правило дифференцирования частного, получим: Y' = (u'v - uv') / v^2 Y' = ((-2x)(1 + x^2) - (1 - x^2)(2x)) / (1 + x^2)^2 Y' = (-2x - 2x^3 - 2x + 2x^3) / (1 + x^2)^2 Y' = (-4x) / (1 + x^2)^2 Y' = -4x / (1 + x^2)^2

Теперь рассмотрим множество точек разрыва функции Y. Точки разрыва возникают тогда, когда знаменатель равен нулю, т.е., когда 1 + x^2 = 0. Но так как x^2 не может быть отрицательным (иначе получим мнимое число), уравнение 1 + x^2 = 0 не имеет решений. Значит, функция Y непрерывна на всей области определения.

5. Найдем точки экстремума, равные нулю производной: -4x / (1 + x^2)^2 = 0

Для этого уравнения единственное решение - x = 0.

6. Найдем значение функции в найденных точках экстремума: Y(0) = (1 - 0^2) / (1 + 0^2) = 1

Таким образом, у нас есть одна точка экстремума: (0, 1).

Теперь мы можем построить график функции Y = (1 - x^2) / (1 + x^2):

График функции Y представляет собой гиперболу, ограниченную значениями y = 1 сверху и асимптотами y = -1 и y = 1 снизу. Асимптоты достигаются при значениях x → ±∞. График также пересекает ось x в точках (-1, 0) и (1, 0) и имеет точку экстремума в (0, 1).