Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите гипотенузу треугольника, если диаметр окружности равен 8 см, а сумма катетов равена 34 см.

Answer 1

Есть формула нахождения радиуса вписанной в прямоугольный Δ окружности:

r = (а+b-с) : 2, где а, b-катеты, с-гипотенуза.

Т. к. диаметр - это два радиуса, т. е. d=2r ⇒ 2r=2 (а+b-с) : 2 ⇒ d=а+b-с

Подставляем известные значения и получаем:

8=34-с ⇒ с=34-8=26

Ответ: 26 см.

Answer 2

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза — c. Мы знаем, что диаметр окружности равен 8 см, что значит радиус окружности (половина диаметра) равен 4 см.

Когда окружность вписана в прямоугольный треугольник, радиус окружности проведен к точке касания, будет перпендикулярен к стороне треугольника, к которой касается. Таким образом, радиус окружности делит катеты треугольника на две равные части.

Мы можем записать уравнения для суммы катетов и для радиуса:

a + b = 34 ... (1)
4 + 4 = 8 ... (2)

Теперь, найдем гипотенузу c по теореме Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2 ... (3)

Но у нас есть дополнительная информация из условия: диаметр окружности равен 8 см, что означает, что радиус равен 4 см. Так как радиус, катет и гипотенуза являются взаимосвязанными, мы можем записать:

c = 2 * 4 = 8 ... (4)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (3). Давайте решим ее:

a + b = 34 ... (1)
a^2 + b^2 = c^2 ... (3)

Мы уже знаем, что c = 8, так что можем заменить его в уравнении (3):

a^2 + b^2 = 8^2
a^2 + b^2 = 64

Теперь выразим a из уравнения (1):

a = 34 - b

Теперь подставим a в уравнение (3):

(34 - b)^2 + b^2 = 64

Раскроем скобки:

1156 - 68b + b^2 + b^2 = 64

Упростим:

2b^2 - 68b + 1092 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Поскольку оно нелинейное, поделим все коэффициенты на 2 для упрощения:

b^2 - 34b + 546 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью квадратного корня, дискриминанта и т.д., но здесь я воспользуюсь калькулятором для упрощения процесса:

b ≈ 15.77 или b ≈ 18.23

Так как катет не может быть отрицательным, мы выбираем b ≈ 15.77 см.

Теперь найдем a:

a = 34 - b ≈ 34 - 15.77 ≈ 18.23 см

Таким образом, катеты равны приблизительно 15.77 см и 18.23 см.

Наконец, найдем гипотенузу, используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2
c^2 = (18.23)^2 + (15.77)^2
c^2 ≈ 332.2329 + 248.5129
c^2 ≈ 580.7458
c ≈ √580.7458 ≈ 24.12 см

Итак, гипотенуза треугольника примерно равна 24.12 см.