Question

Интеграл(2^x * e^x)dx

Answer 1

$\displaystyle\int2^x*e^xdx=\int(2e)^xdx=\frac{(2e)^x}{ln(2e)}+C\\\\\\\int2^x*e^xdx=2^x*e^x-ln2\int 2^x*e^xdx\\(1+ln2)\int2^x*e^xdx=2^x*e^x\\\int2^x*e^xdx=\frac{2^x*e^x}{1+ln2}+C\\\\\\u=2^x;du=2^xln2dx\\dv=e^xdx;v=e^x$

Answer 2

Для решения данного интеграла, вам понадобятся методы интегрирования по частям. Интегрирование по частям осуществляется по следующей формуле:

∫u * dv = u * v - ∫v * du,

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, возьмем u = 2^x и dv = e^x * dx, тогда du = (ln 2) * 2^x * dx и v = ∫e^x * dx = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫(2^x * e^x)dx = 2^x * e^x - ∫(e^x * (ln 2) * 2^x * dx).

Теперь у нас остался интеграл, который похож на исходный, но с коэффициентом (ln 2) перед ним. Мы можем снова применить интегрирование по частям, чтобы решить оставшийся интеграл.

Возьмем u = 2^x и dv = e^x * dx, тогда du = (ln 2) * 2^x * dx и v = ∫e^x * dx = e^x.

Применяя формулу интегрирования по частям во второй раз, получим:

∫(e^x * (ln 2) * 2^x * dx) = (ln 2) * 2^x * e^x - ∫(e^x * (ln 2)^2 * 2^x * dx).

Мы заметим, что у нас снова возник интеграл с таким же видом, но с коэффициентом (ln 2)^2. Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока не получим интеграл без 2^x.

Таким образом, общее решение данного интеграла будет выглядеть как сумма бесконечного ряда:

∫(2^x * e^x)dx = 2^x * e^x - (ln 2) * 2^x * e^x + (ln 2)^2 * 2^x * e^x - (ln 2)^3 * 2^x * e^x + ...

Таким интегралом не существует элементарного аналитического выражения, поэтому данное решение с помощью ряда является окончательным ответом.