Question

Найдите наибольшее значение функции y=(x+9)^2(x-5)-5

Answer 1

Ответ:

=====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y=(x+9)^2(x-5)-5, нужно найти критические точки функции и проверить их на экстремумы. Критические точки это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.

1. Найдем производную функции y по x: y'(x) = d/dx [(x+9)^2(x-5)-5] y'(x) = 2(x+9)(x-5) + (x+9)^2

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: 0 = 2(x+9)(x-5) + (x+9)^2

3. Решим уравнение для x: 0 = 2(x+9)(x-5) + (x+9)^2 0 = (x+9)[2(x-5) + (x+9)] 0 = (x+9)(2x-10+x+9) 0 = (x+9)(3x-1)

Таким образом, получаем две критические точки:

1. x+9 = 0 => x = -9

2. 3x-1 = 0 => x = 1/3

3. Теперь проверим, какие из этих точек являются локальными максимумами, а какие — минимумами. Для этого воспользуемся второй производной тестом.

Найдем вторую производную y''(x): y''(x) = d^2/dx^2 [(x+9)^2(x-5)-5] y''(x) = 2(x-5) + 2(x+9) + 2(x+9)(x-5)

5. Подставим найденные критические точки во вторую производную:

Для x = -9: y''(-9) = 2(-9-5) + 2(-9+9) + 2(-9+9)(-9-5) y''(-9) = -28

Для x = 1/3: y''(1/3) = 2(1/3-5) + 2(1/3+9) + 2(1/3+9)(1/3-5) y''(1/3) = 38

6. Теперь анализируем значения второй производной:

• Если y''(x) > 0, то это указывает на локальный минимум в точке x.
• Если y''(x) < 0, то это указывает на локальный максимум в точке x.

Таким образом, получаем:

• Для x = -9: y''(-9) = -28 < 0 => Это локальный максимум.
• Для x = 1/3: y''(1/3) = 38 > 0 => Это локальный минимум.

7. Наконец, найдем значения функции в найденных критических точках и сравним их, чтобы определить наибольшее значение функции:

Для x = -9: y(-9) = (-9+9)^2(-9-5)-5 = 0 - 5 = -5

Для x = 1/3: y(1/3) = (1/3+9)^2(1/3-5)-5 = (28/3)^2(-14/3) - 5 ≈ -1171.92

Таким образом, наибольшее значение функции y равно приблизительно -5.