Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной уравнением в полярной системе координат. В ответ введите множитель при числе π. r = 3×(1 + sin φ).

Answer 1

$s = \frac{1}{2} \int\limits_a^b {r}^{2} (\theta) \: d\theta$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривой в полярной системе координат, необходимо проинтегрировать половину квадрата радиуса от начального угла до конечного угла.

Уравнение кривой задано в полярной системе координат: r = 3 × (1 + sin φ).

Чтобы найти площадь фигуры, мы будем интегрировать выражение: (1/2) * r^2 dφ от начального угла до конечного угла.

Начальный угол (φ) будет 0, а конечный угол определяется там, где кривая пересекает положительную ось x (r = 0).

Найдем конечный угол (φ_end), когда r = 0:

3 × (1 + sin φ_end) = 0

sin φ_end = -1

φ_end = -π/2 (так как sin(-π/2) = -1)

Теперь найдем площадь:

Площадь = (1/2) * ∫[0 to -π/2] (3 × (1 + sin φ)^2) dφ

Для упрощения интеграла раскроем квадрат:

Площадь = (1/2) * ∫[0 to -π/2] (3 × (1 + 2sin φ + sin^2 φ)) dφ

Теперь проинтегрируем по φ:

Площадь = (1/2) * ∫[0 to -π/2] (3 + 6sin φ + 3sin^2 φ) dφ

Разделим на 2:

Площадь = (1/2) * (3φ - 6cos φ - 3/2sin 2φ) [от 0 до -π/2]

Теперь подставим пределы интегрирования:

Площадь = (1/2) * [(3(-π/2) - 6cos(-π/2) - 3/2sin(-2(-π/2))) - (3(0) - 6cos(0) - 3/2sin(2(0)))]

Площадь = (1/2) * [(3(-π/2) + 6 - 0) - (0 - 6 - 0)]

Площадь = (1/2) * [(3(-π/2) + 6) - (-6)]

Площадь = (1/2) * [(-3π + 6) + 6]

Площадь = (1/2) * (-3π + 12)

Площадь = -3/2 * π + 6

Ответ: -3/2.