Question

Вычислить ∫ сверху П/3, снизу П/6 dx/cos²x.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

  это равно tgx|  сверхуП/3, снизу П/6=tgП/3-tgП/6=V3-V3/3=2V3/3 ( V-это корень)

Answer 3

Для вычисления данного интеграла, нам потребуется использовать тригонометрические тождества. Заметим, что знаменатель подынтегральной функции может быть представлен как квадрат тригонометрической функции:

cos^2(x) = (cos(x))^2 = (1 - sin^2(x)).

Теперь заменим в исходном интеграле знаменатель на данное выражение:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)).

Затем воспользуемся заменой переменной, где t = sin(x), а dt = cos(x) dx:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = ∫(от t1 до t2) dt/(1 - t^2),

где t1 = sin(П/6) = 1/2, t2 = sin(П/3) = √3/2.

Теперь применим метод частичных дробей к функции 1 / (1 - t^2):

1 / (1 - t^2) = A / (1 + t) + B / (1 - t),

где A и B - неизвестные константы. Умножим обе части уравнения на (1 - t^2):

1 = A(1 - t) + B(1 + t).

Подставим t = 1:

1 = A(1 - 1) + B(1 + 1) => 1 = 2B => B = 1/2.

Теперь подставим t = -1:

1 = A(1 + 1) + B(1 - 1) => 1 = 2A => A = 1/2.

Таким образом, разложение функции 1 / (1 - t^2) на простые дроби:

1 / (1 - t^2) = 1 / (2(1 + t)) + 1 / (2(1 - t)).

Теперь перепишем исходный интеграл с использованием разложения:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = ∫(от t1 до t2) dt/(1 - t^2) = ∫(от t1 до t2) (1 / (2(1 + t)) + 1 / (2(1 - t))) dt.

Теперь проинтегрируем каждую часть:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = (1/2) * ln|1 + t| - (1/2) * ln|1 - t| + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Подставим пределы интегрирования:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = (1/2) * ln|1 + √3/2| - (1/2) * ln|1 - 1/2|.

Упростим:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = (1/2) * ln( (1 + √3/2) / (1/2) ).

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = (1/2) * ln( (2 + √3) / 1 ).

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = ln( 2 + √3 ).

Таким образом, окончательный результат интеграла:

∫(от П/3 до П/6) dx/(1 - sin^2(x)) = ln( 2 + √3 ).