Question

Найдите значение производной функции в указанной точке. y = arccos^3 sin x, x0=п/6 .

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения значения производной функции в указанной точке x0, необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдем производную функции y = arccos^3(sin x) по переменной x.

Шаг 2: Подставим x0 = π/6 в найденную производную, чтобы найти значение производной в указанной точке.

Шаг 1: Найдем производную функции y = arccos^3(sin x).

Для этого воспользуемся цепным правилом (chain rule) для производных:

Пусть u = sin x, тогда y = arccos^3(u).

Теперь найдем производную y' по переменной x:

y' = d(arccos^3(u))/dx.

Используем цепное правило:

y' = 3arccos^2(u) * d(arccos(u))/dx.

Теперь найдем производную arccos(u) по переменной x:

d(arccos(u))/dx = -1/sqrt(1 - u^2) * du/dx.

Используем производную sin x:

du/dx = cos x.

Подставим это обратно в y':

y' = 3arccos^2(sin x) * (-1/sqrt(1 - sin^2(x))) * cos(x).

Шаг 2: Найдем значение производной в указанной точке x0 = π/6.

Подставим x0 в полученную производную:

y'(π/6) = 3arccos^2(sin(π/6)) * (-1/sqrt(1 - sin^2(π/6))) * cos(π/6).

Вычислим значения в скобках:

sin(π/6) = 1/2.

cos(π/6) = sqrt(3)/2.

Подставим эти значения:

y'(π/6) = 3arccos^2(1/2) * (-1/sqrt(1 - (1/2)^2)) * sqrt(3)/2.

Теперь найдем значения в скобках:

arccos(1/2) = π/3 (так как arccos(1/2) = 60°, что соответствует π/3 радиан).

sqrt(1 - (1/2)^2) = sqrt(3)/2.

Подставим эти значения:

y'(π/6) = 3(π/3)^2 * (-1/(sqrt(3)/2)) * sqrt(3)/2.

y'(π/6) = π^2/3 * (-1).

y'(π/6) = -π^2/3.

Ответ: Значение производной функции y = arccos^3(sin x) в точке x0 = π/6 равно -π^2/3.