Question

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y''-4y'-5y=0 y(0)=1 y'(0)=-1

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант. По возможности проверьте арифметику.

Answer 2

Для определения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющего заданным начальным условиям, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти характеристическое уравнение. Шаг 2: Решить характеристическое уравнение для получения общего решения дифференциального уравнения. Шаг 3: Применить начальные условия для определения конкретных значений интегрированных постоянных и получения частного решения.

Шаг 1: Найти характеристическое уравнение. Для уравнения y'' - 4y' - 5y = 0 характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - 4r - 5 = 0

Шаг 2: Решить характеристическое уравнение. Чтобы решить квадратное уравнение r^2 - 4r - 5 = 0, применяем квадратную формулу:

r = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-5))) / 2 r = (4 ± √(16 + 20)) / 2 r = (4 ± √36) / 2 r = (4 ± 6) / 2

Таким образом, получаем два корня характеристического уравнения: r₁ = 5 и r₂ = -1.

Шаг 3: Найдем общее решение дифференциального уравнения. Общее решение имеет следующий вид:

y(t) = C₁ * e^(r₁ * t) + C₂ * e^(r₂ * t),

где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

Теперь применим начальные условия для определения конкретных значений C₁ и C₂:

y(0) = 1: 1 = C₁ * e^(5 * 0) + C₂ * e^(-1 * 0) = C₁ + C₂.

y'(0) = -1: -1 = C₁ * (5 * e^(5 * 0)) + C₂ * (-1 * e^(-1 * 0)) = 5 * C₁ - C₂.

Теперь решим эту систему уравнений:

C₁ + C₂ = 1 ... (1) 5 * C₁ - C₂ = -1 ... (2)

Умножим уравнение (1) на 5 и сложим с уравнением (2):

5 * C₁ + 5 * C₂ + 5 * C₁ - C₂ = 1 - 5 10 * C₁ = -4

Теперь найдем C₁:

C₁ = -4 / 10 C₁ = -2 / 5

Подставим найденное значение C₁ в уравнение (1) для нахождения C₂:

-2 / 5 + C₂ = 1 C₂ = 1 + 2 / 5 C₂ = 7 / 5

Таким образом, получаем конкретные значения постоянных: C₁ = -2 / 5 и C₂ = 7 / 5.

Итак, частное решение линейного дифференциального уравнения с начальными условиями y(0) = 1 и y'(0) = -1 имеет вид:

y(t) = (-2/5) * e^(5t) + (7/5) * e^(-t).