Question

Определить частное решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям: y'' -5y'+6y = 0 y(0)=-1 y'(0) = -1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии.

Answer 2

Для нахождения частного решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, удовлетворяющего заданным начальным условиям, сначала найдем общее решение уравнения. Общее решение этого уравнения имеет вид:

y'' - 5y' + 6y = 0

Характеристическое уравнение:

r^2 - 5r + 6 = 0

Данное уравнение можно разложить на множители:

(r - 2)(r - 3) = 0

И находим два корня:

r1 = 2 r2 = 3

Следовательно, общее решение будет иметь вид:

y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(3t)

Теперь используем начальные условия, чтобы найти конкретные значения констант C1 и C2.

Условие y(0) = -1:

-1 = C1 * e^0 + C2 * e^0

-1 = C1 + C2

Условие y'(0) = -1:

-1 = 2C1 * e^0 + 3C2 * e^0

-1 = 2C1 + 3C2

Теперь решим систему уравнений:

1. -1 = C1 + C2
2. -1 = 2C1 + 3C2

Решая эту систему, вы найдете значения C1 и C2. Умножим уравнение 1 на 2 и вычтем его из уравнения 2:

-1 - (-2) = 3C2 - 2C2

1 = C2

Теперь зная C2, подставьте его обратно в уравнение 1:

-1 = C1 + 1

C1 = -1 - 1 C1 = -2

Итак, константы C1 и C2 найдены. Частное решение уравнения с заданными начальными условиями имеет вид:

y(t) = -2 * e^(2t) + e^(3t)