Question

(xy^2+y^2)*dx+(x^2-x^2*y)*dy=0 если у=1 при х=1

Answer 1

(1*1+1)*d+(1-1*1)*d=0

2d=0

нет корней

Answer 2

Для данного дифференциального уравнения первого порядка:

$(xy^2 + y^2)dx + (x^2 - x^2y)dy = 0$

и начальных условий $y = 1$ при $x = 1$, нам требуется найти частное решение.

Чтобы решить это уравнение, мы используем метод разделения переменных. Перепишем уравнение в виде:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{xy^2 + y^2}{x^2 - x^2y}$

Теперь разделим переменные, перемещая все термы, содержащие $y$, на одну сторону уравнения, а все термы, содержащие $x$, на другую сторону:

$\frac{dy}{y^2 + y} = -\frac{dx}{x - x^2}$

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

$\int\frac{dy}{y^2 + y} = -\int\frac{dx}{x - x^2}$

Интегралы слева и справа могут быть решены:

Левая сторона:

$\int\frac{dy}{y^2 + y} = \int\frac{dy}{y(y + 1)}$

Используем метод частных дробей, чтобы разложить дробь на простые дроби:

$\frac{1}{y(y + 1)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y + 1}$

Получаем:

$1 = A(y + 1) + By$

Подставляем $y = 0$ и $y = -1$:

$1 = A(0 + 1) + B(0) \implies A = 1$

$1 = A(-1) + B(-1) \implies B = -1$

Теперь интегрируем левую сторону:

$\int\frac{dy}{y^2 + y} = \int\frac{dy}{y(y + 1)} = \int\left(\frac{1}{y} - \frac{1}{y + 1}\right)dy = \ln|y| - \ln|y + 1| + C_1$

Правая сторона:

$\int\frac{dx}{x - x^2} = \int\frac{dx}{x(1 - x)}$

Используем метод частных дробей, чтобы разложить дробь на простые дроби:

$\frac{1}{x(1 - x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1 - x}$

Получаем:

$1 = A(1 - x) + Bx$

Подставляем $x = 0$ и $x = 1$:

$1 = A(1 - 0) + B(0) \implies A = 1$

$1 = A(1 - 1) + B(1) \implies B = 1$

Теперь интегрируем правую сторону:

$\int\frac{dx}{x(1 - x)} = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - x}\right)dx = \ln|x| - \ln|1 - x| + C_2$

Теперь объединим константы интегрирования и перепишем уравнение:

$\ln|y| - \ln|y + 1| + C_1 = \ln|x| - \ln|1 - x| + C_2$

Объединим логарифмы с помощью свойства логарифма:

$\ln\left|\frac{y}{y + 1}\right| = \ln\left|\frac{x}{1 - x}\right| + C$

Где $C = C_2 - C_1$ - объединенная константа интегрирования.

Теперь применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

$\frac{y}{y + 1} = \frac{x}{1 - x}e^C$

Теперь, используя начальное условие $y = 1$ при $x = 1$, найдем константу $C$:

$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{1 - 1}e^C$

$\frac{1}{2} = 0$

Это уравнение не имеет решения, что значит, что данное дифференциальное уравнение не имеет частного решения с заданным начальным условием. Возможно, в условии была допущена ошибка, либо требуется решить другое уравнение.