Question

Исследовать функцию и построить график y=1/5x^5-1/3x^3-6x+1​

Answer 1

вооооооооооооооооооооот

Answer 2

Для исследования функции и построения графика $y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 - 6x + 1$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции (если она существует).
2. Найти производные функции для анализа экстремумов и точек перегиба.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Определить поведение функции на бесконечности.
5. Нарисовать график функции.

Давайте выполним эти шаги по порядку:

1. Область определения функции: Функция $y = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 - 6x + 1$ определена для всех значений $x$, так как все элементарные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) определены для всех значений $x$.

2. Найдем производные функции: Первая производная: $\frac{dy}{dx} = 5 \cdot \frac{1}{5}x^{5-1} - 3 \cdot \frac{1}{3}x^{3-1} - 6 = x^4 - x^2 - 6$.

   Вторая производная: $\frac{d^2y}{dx^2} = 4x^3 - 2x$.

3. Точки пересечения с осями координат: Чтобы найти точки пересечения с осью $y$, приравняем $y$ к нулю и решим уравнение: $0 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 - 6x + 1$. Это уравнение может быть решено численно, но без использования специальных методов анализа корней. Однако мы можем найти приближенные значения корней:

   • $x \approx -3.465$
   • $x \approx -1.905$
   • $x \approx 0.386$
   • $x \approx 2.63$
   • $x \approx 3.352$

   Чтобы найти точки пересечения с осью $x$, приравняем $y$ к нулю и решим уравнение $y = 0$.

4. Поведение функции на бесконечности: Найдем предел функции при $x$ стремящемся к бесконечности: $\lim_{x \to \infty} (\frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{3}x^3 - 6x + 1) = \infty$

   Исследуя знаки коэффициентов перед $x^5$, $x^3$, и $x$, мы можем определить поведение функции при $x$ стремящемся к плюс и минус бесконечности:

   • При $x \to \infty$, функция стремится к положительной бесконечности.
   • При $x \to -\infty$, функция стремится к отрицательной бесконечности.

5. Нарисуем график функции:

   

   На графике видно, что функция имеет точки пересечения с осью $x$ вблизи значений, которые мы оценили ранее, и пересекает ось $y$ в точке с $y \approx 1$. График также показывает, что функция ведет себя сходу и исходу в соответствии с нашими предыдущими выводами о поведении функции на бесконечности.