Question

Вычислить двойной интеграл (x+y) dxdy, если область D ограничена линиями y=3-x^2, y=x-1. Очень срочно, помогите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{89\cdot \sqrt{17}}{30}$

Пошаговое объяснение:

Сначала определим область D. Для этого находим точки пересечения линий y₁=3-x² и y₂=x-1. Для этого приравниваем функции:

y₁=y₂ ⇔ 3-x²=x-1 ⇔ x²+x-4=0: D=1²-4·1·(-4)=1+16=17,

x₁=(-1-√17)/2, x₂=(-1+√17)/2. Отсюда:

x₂+x₁= -1; x₂-x₁= √17; x₂·x₁=-4;x₂²-x₁²= -√17; x₂²+x₁²= 18.

Теперь область D можно выразить системой неравенств:

$\displaystyle D: \left \{ {{x_{1} \leq x \leq x_{2}} \atop {x-1} \leq y \leq 3-x^{2}}} \right.$

Тогда

$\displaystyle \int_{(D)} \int \limits {(x+y}) \, dxdy=\int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \, dx \int\limits^{3-x^{2} }_{x-1} {(x+y)} \, dy = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot y+\frac{y^{2} }{2} )} \ /^{3-x^{2} }_{x-1} ] \, dx =\\\\ = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ [ {(x \cdot (3-x^{2}-(x-1))+\frac{(3-x^{2})^{2}}{2} -\frac{(x-1)^{2}}{2} } ] \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ ( {3\cdot x-x^{3}-x^{2}+x+\frac{9-2\cdot x^{2}+x^{4}}{2}-\frac{x^{2}-2\cdot x+1}{2} ) \, dx =$

$\displaystyle = \int\limits^{x_{2}} _{x_{1}} \ ( {4\cdot x-x^{3}-x^{2}+\frac{9-1+2\cdot x^{2}-x^{2}+x^{4}+2 \cdot x}{2}) \, dx =$

$\displaystyle =(\frac{5\cdot x_{2}^{2}}{2} - \frac{x_{2}^{4}}{4}+4\cdot x_{2}-\frac{x_{2}^{3}}{6}+\frac{x_{2}^{5}}{10})-(\frac{5\cdot x_{1}^{2}}{2} - \frac{x_{1}^{4}}{4}+4\cdot x_{1}-\frac{x_{1}^{3}}{6}+\frac{x_{1}^{5}}{10})=$

$\displaystyle =(\frac{5\cdot x_{2}^{2}}{2} -\frac{5\cdot x_{1}^{2}}{2} )-( \frac{x_{2}^{4}}{4}-\frac{x_{1}^{4}}{4})+4\cdot (x_{2}-x_{1})-(\frac{x_{2}^{3}}{6}-\frac{x_{1}^{3}}{6})+(\frac{x_{2}^{5}}{10}-\frac{x_{1}^{5}}{10})=$

$\displaystyle =\frac{5}{2} \cdot(x_{2}^{2} -x_{1}^{2})-\frac{1}{4} \cdot(x_{2}^{4} -x_{1}^{4})+4\cdot (x_{2}-x_{1})-\frac{1}{6}\cdot(x_{2}^{3}-x_{1}^{3})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{5}{2} \cdot(-\sqrt{17})-\frac{1}{4} \cdot(x_{2}^{2} -x_{1}^{2})\cdot(x_{2}^{2} +x_{1}^{2})+4\cdot \sqrt{17} -\frac{1}{6}\cdot(x_{2}^{3}-x_{1}^{3})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{3\cdot \sqrt{17}}{2} -\frac{1}{4} \cdot(-\sqrt{17})\cdot 18-\frac{1}{6}\cdot(x_{2}-x_{1})\cdot(x_{2}^{2}+x_{2}\cdot x_{1}+x_{1}^{2})+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =6\cdot \sqrt{17} -\frac{1}{6}\cdot\sqrt{17}\cdot(18-4)+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}^{5}-x_{1}^{5})=$

$\displaystyle =\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot(x_{2}-x_{1})\cdot(x_{2}^{4}+ x_{2}^{3}\cdot x_{1}+x_{2}^{2}\cdot x_{1}^{2}+x_{2}\cdot x_{1}^{3}+x_{1}^{4})=$

$\displaystyle =\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}+\frac{1}{10}\cdot \sqrt{17}\cdot(17+2\cdot 16-4\cdot 18+16)=\\\\=\frac{11}{3}\cdot\sqrt{17}-\frac{7\cdot \sqrt{17}}{10}=\frac{89\cdot \sqrt{17}}{30}$

Answer 2

Для вычисления двойного интеграла в данной области D ограниченной линиями y = 3 - x^2 и y = x - 1, нужно сначала определить пределы интегрирования для переменных x и y.

Область D можно найти пересечением двух кривых, то есть приравняв их:

3 - x^2 = x - 1

Теперь решим уравнение:

x^2 + x - 2 = 0

(x + 2)(x - 1) = 0

Таким образом, x = -2 или x = 1.

Теперь определим пределы интегрирования для y.

Из кривой y = 3 - x^2: y принимает значения от 3 - (-2)^2 = -1 до 3 - 1^2 = 2.

Из кривой y = x - 1: y принимает значения от -2 - 1 = -3 до 1 - 1 = 0.

Таким образом, пределы интегрирования для y: -3 ≤ y ≤ 2.

Теперь можем записать двойной интеграл:

∬(x+y) dxdy

Интегрируем сначала по x, затем по y:

∫[from -2 to 1] ∫[from -3 to 2] (x + y) dy dx

Теперь проинтегрируем по y:

∫[from -2 to 1] [xy + 0.5y^2] [from -3 to 2] dx

∫[from -2 to 1] (2x + 2) dx

Теперь проинтегрируем по x:

[ x^2 + 2x ] [from -2 to 1]

[(1^2 + 21) - ((-2)^2 + 2(-2))]

[ (1 + 2) - (4 - 4) ]

[ 3 - 0 ]

Ответ: 3.