Question

Доказать, что..... Sec^4(t)+cosec^4(t)>= (больше или равно) 8Sec=1/cost ; cosec=1/sint

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обозначим  х=sin^2(t)  y=cos^2(t)

x+y=1

(1/x)^2+(1/y^2)>=8

-------------------

x^2+y^2>=8(xy)^2

1-2xy>=8(xy)^2

1>=2xy*(1+4xy)

но по теореме о среднеарифметическом и среднем геометрическом   sqrt(xy)<=1/2

xy<=1/4

Значит выражение справа меньше либо равно 2*(1/4)*2=1, что и требуется.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с правой стороны и посмотрим, как она связана с левой стороной:

Мы знаем, что: Sec(t) = 1/cos(t) Cosec(t) = 1/sin(t)

Тогда правая сторона неравенства будет:

8 * Sec(t) + Cosec(t) = 8 * (1/cos(t)) + (1/sin(t))

Теперь приведем общий знаменатель для суммы:

8 * (1/cos(t)) + (1/sin(t)) = (8 * sin(t) + cos(t)) / (cos(t) * sin(t))

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin(2t) = 2 * sin(t) * cos(t)

Тогда:

8 * sin(t) + cos(t) = 8 * sin(t) + 2 * sin(t) * cos(t) = 2 * sin(t) * (4 + 2 * cos(t))

Теперь вернемся к правой стороне неравенства:

8 * Sec(t) + Cosec(t) = (2 * sin(t) * (4 + 2 * cos(t))) / (cos(t) * sin(t))

Теперь упростим нашу левую сторону:

Sec^4(t) + Cosec^4(t) = (1/cos^4(t)) + (1/sin^4(t)) = (sin^4(t) + cos^4(t)) / (cos^4(t) * sin^4(t))

Мы знаем тригонометрическое тождество: sin^2(t) + cos^2(t) = 1

Возводим в четвертую степень:

(sin^2(t) + cos^2(t))^2 = 1 (sin^4(t) + 2 * sin^2(t) * cos^2(t) + cos^4(t)) = 1

Теперь заменим sin^2(t) * cos^2(t) на (1 - cos^2(t)) * cos^2(t):

(sin^4(t) + 2 * (1 - cos^2(t)) * cos^4(t) + cos^4(t)) = 1

Упростим:

sin^4(t) + 2 * cos^4(t) - 2 * cos^6(t) + cos^4(t) = 1 2 * cos^4(t) - 2 * cos^6(t) = 1 - sin^4(t)

Теперь вернемся к левой стороне неравенства:

Sec^4(t) + Cosec^4(t) = (sin^4(t) + cos^4(t)) / (cos^4(t) * sin^4(t)) = (2 * cos^4(t) - 2 * cos^6(t)) / (cos^4(t) * sin^4(t))

Теперь можно записать неравенство:

(2 * cos^4(t) - 2 * cos^6(t)) / (cos^4(t) * sin^4(t)) >= (2 * sin(t) * (4 + 2 * cos(t))) / (cos(t) * sin(t))

Упростим:

2 * cos^4(t) - 2 * cos^6(t) >= 2 * (4 + 2 * cos(t))

Разделим обе стороны на 2:

cos^4(t) - cos^6(t) >= 4 + 2 * cos(t)

Теперь приведем все к одной стороне:

cos^6(t) + cos^4(t) + 2 * cos(t) - 4 <= 0

Теперь заметим, что у нас есть (cos^4(t) + 1), что равно (1 - sin^2(t) + 1) = (2 - sin^2(t)), а также заметим, что (cos^6(t) + cos^4(t) + 2 * cos(t) - 4) = (cos^4(t) + 1) + (cos^6(t) + 2 * cos(t) - 3).

Теперь неравенство можно записать так:

(2 - sin^2(t)) + (cos^6(t) + 2 * cos(t) - 3) <= 0

Так как (2 - sin^2(t)) всегда положительное число (так как sin^2(t) <= 1), нам нужно доказать, что:

cos^6(t) + 2 * cos(t) - 3 <= 0

Теперь докажем это последнее неравенство:

Рассмотрим функцию f(t) = cos^6(t) + 2 * cos(t) - 3. Найдем ее производную:

f'(t) = 6 * cos^5(t) * (-sin(t)) + 2 * (-sin(t)) = -6 * cos^5(t) * sin(t) - 2 * sin(t) = -2 * (3 * cos^5(t) * sin(t) + sin(t)).

Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

-2 * (3 * cos^5(t) * sin(t) + sin(t)) = 0

3 * cos^5(t) * sin(t) + sin(t) = 0

sin(t) * (3 * cos^5(t) + 1) = 0

Таким образом, у нас две критические точки: sin(t) = 0 и 3 * cos^5(t) + 1 = 0.

1. Когда sin(t) = 0, это соответствует значениям t = 0 и t = pi.

2. Когда 3 * cos^5(t) + 1 = 0, это соответствует значению cos^5(t) = -1/3. Однако это невозможно, так как -1 <= cos(t) <= 1, и cos^5(t) будет всегда неотрицательно.

Теперь найдем значение функции f(t) на этих критических точках и на границах интервала, чтобы определить, где f(t) <= 0:

1