Question

Помогите пожалуйста решить интеграл x^(1/2)/(1-x^(1/4))dx

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной. Проведем следующую замену:

Пусть u = x^(1/4).

Тогда, производная du/dx = (1/4) * x^(-3/4).

Теперь выразим dx через du:

dx = 4 * u^3 du.

Подставим замену в исходный интеграл:

∫(x^(1/2) / (1 - x^(1/4))) dx = ∫((u^4) / (1 - u)) * (4 * u^3) du = 4 * ∫(u^7 / (1 - u)) du.

Теперь разложим дробь на простые дроби. Представим интеграл в виде суммы двух дробей:

∫(u^7 / (1 - u)) du = ∫((u^7 - u^6 + u^6 - u^5 + u^5 - u^4 + u^4 - u^3 + u^3 - u^2 + u^2 - u + u) / (1 - u)) du = ∫((u^6(u - 1) + u^5(u - 1) + u^4(u - 1) + u^3(u - 1) + u^2(u - 1) + u(u - 1) + u) / (1 - u)) du = ∫(u^6 du + u^5 du + u^4 du + u^3 du + u^2 du + u du + u / (1 - u)) du.

Теперь проинтегрируем каждую из дробей:

∫(u^6 du) = (u^7) / 7, ∫(u^5 du) = (u^6) / 6, ∫(u^4 du) = (u^5) / 5, ∫(u^3 du) = (u^4) / 4, ∫(u^2 du) = (u^3) / 3, ∫(u du) = (u^2) / 2, ∫(u / (1 - u)) du = -ln|1 - u|.

Теперь подставим полученные результаты:

∫(u^7 / (1 - u)) du = (u^7) / 7 + (u^6) / 6 + (u^5) / 5 + (u^4) / 4 + (u^3) / 3 + (u^2) / 2 - ln|1 - u| + C.

Итак, окончательное решение:

∫(x^(1/2) / (1 - x^(1/4))) dx = 4 * ((x^(1/4))^7 / 7 + (x^(1/4))^6 / 6 + (x^(1/4))^5 / 5 + (x^(1/4))^4 / 4 + (x^(1/4))^3 / 3 + (x^(1/4))^2 / 2 - ln|1 - x^(1/4)|) + C.

Также, чтобы упростить ответ, можно заменить x^(1/4) обратно на u:

∫(x^(1/2) / (1 - x^(1/4))) dx = 4 * (u^7 / 7 + u^6 / 6 + u^5 / 5 + u^4 / 4 + u^3 / 3 + u^2 / 2 - ln|1 - u|) + C.

Где u = x^(1/4).