Question

Y＝5x4-20x2+4найти промежутки возр и убывания и экстремум

Answer 1

Дана функция у＝5x⁴-20x²+4.

Производная равна: y' = 20x³ - 40x = 20x(x² - 2).

Приравняем её нулю: 20x(x² - 2) = 0.

Получаем 3 критических точки: х = 0, х = √2 и х = -√2.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

x = -2 -1,4142 -1   0      1      1,4142          2

y' = -80      0         20   0    -20 0             80 .

Минимум функции в точках х = +-√2,  у = -16.

Максимум в точке х = 0,  у = 4.

Возрастает на промежутках (-√2; 0) и (√2; +∞).

Убывает на промежутках (-∞; -√2) и (0; √2).

Answer 2

Для анализа функции Y = 5x^4 - 20x^2 + 4 и поиска промежутков возрастания и убывания, а также экстремумов, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции Y по переменной x.
2. Решите уравнение производной равной нулю для нахождения критических точек.
3. Проверьте знак производной в интервалах между критическими точками и на краях области определения, чтобы найти промежутки возрастания и убывания.
4. Определите тип экстремумов в критических точках (минимумы или максимумы).

Шаг 1: Найдем производную функции Y по переменной x: Y' = d/dx(5x^4 - 20x^2 + 4) Y' = 20x^3 - 40x

Шаг 2: Решим уравнение производной равной нулю: 20x^3 - 40x = 0 Вынесем общий множитель: 20x(x^2 - 2) = 0

Таким образом, получаем две критические точки:

1. x = 0
2. x^2 - 2 = 0

Шаг 3: Найдем промежутки возрастания и убывания, а также определим знак производной в интервалах между критическими точками и на краях области определения.

Для этого построим таблицу знаков производной Y':

Интервал	Y'	Промежуток возрастания/убывания
(-∞, 0)	(-)	Убывает
(0, √2)	(+)	Возрастает
(√2, +∞)	(+)	Возрастает

Шаг 4: Найдем экстремумы в критических точках.

1. Для x = 0: Y(0) = 5(0)^4 - 20(0)^2 + 4 = 4

2. Для x^2 - 2 = 0: x^2 = 2 x = ±√2

Y(√2) = 5(√2)^4 - 20(√2)^2 + 4 ≈ 5.657 Y(-√2) = 5(-√2)^4 - 20(-√2)^2 + 4 ≈ 5.657

Таким образом, получаем три точки, в которых могут находиться экстремумы:

1. (0, 4) - минимум
2. (√2, 5.657)
3. (-√2, 5.657)

Итак, промежутки возрастания и убывания функции Y:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0).
• Функция возрастает на интервалах (0, √2) и (√2, +∞).

Экстремумы функции Y:

• Минимум: (0, 4).

Пожалуйста, обратите внимание, что значения Y в критических точках (√2, 5.657) и (-√2, 5.657) показываются примерно с округлением и могут быть приближенными.