Question

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линией y=1- x^2 , y=0, x=0, x=1.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$V=\pi \int\limits^a_b\, f^2(x)dx=\pi \int\limits^1_0\, (1-x^2)^2\, dx=\pi \int\limits^1_0\, (1-2x^2+x^4)\, dx =\\\\=\pi (x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5)\Big |_0^1=\pi (1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5})=\frac{8}{15}\cdot \pi$

Answer 2

Для вычисления объема тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, мы можем использовать метод цилиндровых оболочек. Этот метод заключается в интегрировании площадей круговых сечений, получающихся при вращении фигуры вокруг заданной оси.

Фигура ограничена линиями y = 1 - x^2, y = 0, x = 0 и x = 1. Для определения пределов интегрирования, найдем точки пересечения кривых:

1 - x^2 = 0 x^2 = 1 x = ±1

Таким образом, пределы интегрирования для x будут от 0 до 1.

Теперь давайте определим радиус цилиндра в зависимости от значения x. Радиус цилиндра равен значению функции y = 1 - x^2.

Теперь, используя формулу для объема цилиндра V = π * r^2 * h, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра (разница между функциями y = 1 - x^2 и y = 0), и проинтегрируем этот объем от 0 до 1:

V = ∫[0 to 1] π * (1 - x^2)^2 dx

Теперь вычислим данный интеграл:

V = ∫[0 to 1] π * (1 - 2x^2 + x^4) dx

V = π * [x - (2/3)x^3 + (1/5)x^5] from 0 to 1

V = π * [(1 - (2/3) + (1/5)) - (0 - 0 + 0)]

V = π * [(15/15) - (10/15) + (3/15)]

V = π * (8/15)

Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси OX, равен (8/15)π кубических единиц.