Question

Пожалуйста, решите уравнение. Желательно, чтобы в ответе не было arcsin или arccos. Спасибо! 1=2,5*(sinx + cosx)

Answer 1

Ответ:

без arccos не обошлось, увы!

Ответ: x = π/4 + arccos(0.2√2) или примерно x ≈ 45° + 73.57° = 118.57°

Пошаговое объяснение:

1=2,5*(sinx + cosx)

sinx + cosx  = 0,4

sinx + sin(π/2 - x) = 0.4

далее применяем формулу для суммы синусов:

sinx + siny = 2sin(0.5(x + y)) · cos(0.5(x - y))

2sin π/4 ·  cos (x - π/4) = 0.4

2 · 0.5√2 · cos (x - π/4) = 0.4

cos (x - π/4) = 0.2√2

x - π/4 = arccos(0.2√2)

x = π/4 + arccos(0.2√2)

x ≈ 45° + 73.57° = 118.57°

Answer 2

Для решения данного уравнения сначала преобразуем его, чтобы убрать сумму внутри скобок. Мы знаем, что $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, поэтому можем использовать это свойство:

$$1 = 2.5 \cdot (\sin{x} + \cos{x}) \\ 1 = 2.5 \cdot \sin{x} + 2.5 \cdot \cos{x}$$

Теперь мы хотим представить правую часть уравнения в виде $A \cdot \sin{(x + B)}$, чтобы избавиться от суммы. Для этого нам нужно найти $A$ и $B$:

Начнем с представления $\sin{(x + B)}$:

$$\sin{(x + B)} = \sin{x}\cos{B} + \cos{x}\sin{B}$$

Мы хотим, чтобы у $\sin{x}\cos{B}$ и $\cos{x}\sin{B}$ стояли коэффициенты, равные $2.5$, поэтому мы можем записать:

$$\sin{x}\cos{B} = 2.5\sin{x} \quad \text{(1)}$$

$$\cos{x}\sin{B} = 2.5\cos{x} \quad \text{(2)}$$

Теперь поделим уравнение (1) на уравнение (2):

$$\frac{\sin{x}\cos{B}}{\cos{x}\sin{B}} = \frac{2.5\sin{x}}{2.5\cos{x}} \\ \frac{\sin{x}}{\cos{x}} = \tan{x} = 1$$

Из этого следует, что $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k$ - целое число.

Теперь найдем $A$. Подставим найденное значение $x$ в уравнение (1) или (2):

$$2.5\sin{x} = 2.5 \cdot \sin{\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right)}$$

Здесь $\sin{\left(\frac{\pi}{4} + \pi k\right)} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, так как $\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin{\pi k} = 0$.

Таким образом, $A = 2.5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, окончательное решение уравнения $1 = 2.5 \cdot (\sin{x} + \cos{x})$ имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad \text{где} \quad k \text{ - целое число,}$ $\text{или}$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad \text{где} \quad k \text{ - целое число.}$