Question

Найти промежутки монотонности и точки экстремумы функции y =x^3-6x^2+8

Answer 1

$y=x^3-6x^2+8\\y'=3x^2-12x\\3x^2-12x=0\\3x(x-4)=0\\x_1=0,\;x_2=4$

При x∈(-∞; 0) f'(x)>0 - функция возрастает.

При x∈(0; 4) f'(x)<0 - функция убывает.

При x∈(4; +∞) f'(x)>0 - функция возрастает.

y(0) = 0-0+8 = 8, (0; 8) - точка максимума

y(4) = 64-96+8 = -24, (4; -24) - точка минимума.

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и точки экстремума функции y = x^3 - 6x^2 + 8, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите производную функции y по x. Шаг 2: Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции. Шаг 3: Используйте вторую производную f''(x) для определения характера экстремумов (минимумов или максимумов) в критических точках. Шаг 4: Изучите знак производной на каждом интервале между критическими точками, чтобы найти промежутки монотонности.

Шаг 1: Найдем производную функции y = x^3 - 6x^2 + 8:

f'(x) = d/dx(x^3 - 6x^2 + 8) = 3x^2 - 12x

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 12x = 0 3x(x - 4) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 0 и x = 4.

Шаг 3: Найдем вторую производную функции:

f''(x) = d/dx(3x^2 - 12x) = 6x - 12

Шаг 4: Определим характер экстремумов в критических точках:

• Для x = 0: f''(0) = 6(0) - 12 = -12

Если f''(x) < 0, то это означает, что функция имеет локальный максимум в точке x = 0.

• Для x = 4: f''(4) = 6(4) - 12 = 12

Если f''(x) > 0, то это означает, что функция имеет локальный минимум в точке x = 4.

Таким образом, у нас есть точки экстремума: локальный максимум в точке (0, 8) и локальный минимум в точке (4, -8).

Шаг 5: Найдем промежутки монотонности. Для этого проанализируем знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 4) и (4, +∞).

• В интервале (-∞, 0): Выберем произвольную точку x = -1 (любое значение меньше 0) и подставим в f'(x):

f'(-1) = 3(-1)^2 - 12(-1) = 3 + 12 = 15 (положительное значение)

Таким образом, на интервале (-∞, 0) функция возрастает.

• В интервале (0, 4): Выберем произвольную точку x = 2 (любое значение между 0 и 4) и подставим в f'(x):

f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) = 12 - 12 = 0

Таким образом, на интервале (0, 4) функция имеет нулевую производную, что означает горизонтальную касательную и, следовательно, функция на этом интервале имеет экстремум.

• В интервале (4, +∞): Выберем произвольную точку x = 5 (любое значение больше 4) и подставим в f'(x):

f'(5) = 3(5)^2 - 12(5) = 75 - 60 = 15 (положительное значение)

Таким образом, на интервале (4, +∞) функция возрастает.

Итак, мы получили следующие промежутки монотонности и точки экстремума:

1. Функция возрастает на интервале (-∞, 0).
2. Функция имеет локальный максимум в точке (0, 8).
3. Функция имеет локальный минимум в точке (4, -8).
4. Функция возрастает на интервале (4, +∞).