Question

Неопределенный интеграл от (tg(x))^7

Answer 1

.................................................

Answer 2

Для решения неопределенного интеграла от (tg(x))^7, вам нужно использовать метод интегрирования по частям несколько раз.

Неопределенный интеграл от (tg(x))^7 можно записать как:

∫(tan(x))^7 dx

Сначала давайте представим (tg(x))^7 как (tg(x))^6 * (tg(x)). Теперь мы можем использовать замену, чтобы упростить интеграл:

Пусть u = (tg(x))^6 и dv = (tg(x)) dx.

Тогда du = 6(tg(x))^5 * (sec(x))^2 dx и v = ∫(tg(x)) dx = ln|sec(x)|.

Теперь мы можем применить метод интегрирования по частям:

∫(tg(x))^7 dx = ∫u dv = uv - ∫v du = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - ∫6(tg(x))^5 * (sec(x))^2 dx.

Теперь у нас есть еще один интеграл в правой части. Мы можем продолжить применять метод интегрирования по частям, пока не дойдем до конца:

Пусть u = (tg(x))^5 и dv = (sec(x))^2 dx.

Тогда du = 5(tg(x))^4 * (sec(x))^2 dx и v = ∫(sec(x))^2 dx = tan(x).

Теперь снова используем метод интегрирования по частям:

∫(tg(x))^7 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - ∫6(tg(x))^5 * (sec(x))^2 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6∫(tg(x))^4 dx.

Продолжим процесс:

Пусть u = (tg(x))^4 и dv = (sec(x))^2 dx.

Тогда du = 4(tg(x))^3 * (sec(x))^2 dx и v = ∫(sec(x))^2 dx = tan(x).

И снова применяем метод интегрирования по частям:

∫(tg(x))^7 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6∫(tg(x))^4 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6((tg(x))^3 * tan(x) - ∫4(tg(x))^2 dx).

Продолжим:

Пусть u = (tg(x))^2 и dv = (sec(x))^2 dx.

Тогда du = 2(tg(x)) * (sec(x))^2 dx и v = ∫(sec(x))^2 dx = tan(x).

Применяем метод интегрирования по частям еще раз:

∫(tg(x))^7 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6((tg(x))^3 * tan(x) - ∫4(tg(x))^2 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6((tg(x))^3 * tan(x) - 4(tg(x)) * tan(x) - ∫4 dx).

Теперь проинтегрируем последний интеграл:

∫(tg(x))^7 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6((tg(x))^3 * tan(x) - 4(tg(x)) * tan(x) - ∫4 dx = (tg(x))^6 * ln|sec(x)| - 6(tg(x))^3 * tan(x) + 4(tg(x)) * tan(x) - 4x + C.

Где C - произвольная постоянная интегрирования. Вот окончательный результат неопределенного интеграла от (tg(x))^7.