Question

Найти общий вид первообразной для функции: 1)f(x)=2/x-3x^2+5F(x)=?2)f(x)=6√x-8/x^7F(x)=?

Answer 1

Ответ:

1) F(x) = -x^3 + 5x + 2log(x) + C

2) F(x) = 4x^(3/2) + 4 / 3x^6 + C

Пошаговое объяснение:

Во втором примере 6√x тоже самое, что 6x^(1/2).

Все остальное в одно действие, нечего расписывать.

Answer 2

Для нахождения общего вида первообразной (антипроизводной) для данных функций, мы должны найти такую функцию $F(x)$, производная которой равна заданной функции $f(x)$.

1. Для функции $f(x) = \frac{2}{x} - 3x^2 + 5$, найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int \left( \frac{2}{x} - 3x^2 + 5 \right) dx$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = 2 \int \frac{1}{x} dx - 3 \int x^2 dx + \int 5 dx$

Вычислим интегралы:

$F(x) = 2 \ln |x| - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{x} - 3x^2 + 5$ равен:

$F(x) = 2 \ln |x| - x^3 + 5x + C$

2. Для функции $f(x) = 6\sqrt{x} - \frac{8}{x^7}$, найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int \left( 6\sqrt{x} - \frac{8}{x^7} \right) dx$

Интегрируем каждый член по отдельности:

$F(x) = 6 \int \sqrt{x} \, dx - 8 \int \frac{1}{x^7} dx$

Вычислим интегралы:

$F(x) = 6 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + 8 \cdot \frac{1}{6x^6} + C$

$F(x) = 4x^{3/2} + \frac{4}{3x^6} + C$

где $C$ - произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной для функции $f(x) = 6\sqrt{x} - \frac{8}{x^7}$ равен:

$F(x) = 4x^{3/2} + \frac{4}{3x^6} + C$