Question

Можно ли расставить 49 целых чисел ( не обязательно различных) в клеточки квадратной таблицы 7×7 ( по одному числу в каждую клеточку) так, чтобы сумма чисел во всех квадратах размерами 2×2 и 3×3 делилась на 2018, а сумма всех чисел таблицы не делилась на 2018​

Answer 1

Да можно,7×7,6×6,9×9

Answer 2

Да, возможно расставить 49 целых чисел в клеточки квадратной таблицы 7×7 с указанными свойствами.

Для этого построим таблицу следующим образом:

1. Заполним диагональные клетки таблицы 7×7 числами, которые делятся на 2018. Например, все диагональные клетки могут быть заполнены числом 2018.

2. Заполним оставшиеся клетки в каждой строке и столбце таким образом, чтобы сумма чисел во всех квадратах размерами 2×2 и 3×3 делилась на 2018. Для этого можно использовать следующую последовательность чисел:

markdownCopy code
0, 2018, 2*2018, 3*2018, ..., 6*2018

Таким образом, в первой строке таблицы у нас будут числа: 0, 2018, 22018, 32018, 42018, 52018, 6*2018 (можно начинать с любого числа из этой последовательности).

Во второй строке таблицы сдвинем эту последовательность на одну позицию, чтобы избежать повторений:

markdownCopy code
6*2018, 0, 2018, 2*2018, 3*2018, 4*2018, 5*2018

В третьей строке сдвинем еще раз:

markdownCopy code
5*2018, 6*2018, 0, 2018, 2*2018, 3*2018, 4*2018

И так далее, пока не заполним все строки.

Теперь в каждой строке и каждом столбце у нас есть различные числа из указанной последовательности, и построенная таблица удовлетворяет условиям задачи:

• Сумма чисел во всех квадратах размерами 2×2 и 3×3 даст нам сумму, которая делится на 2018, так как каждый элемент этой суммы входит в последовательность 0, 2018, 2*2018, 3*2018, ..., 6*2018, и их комбинация тоже делится на 2018.

• Сумма всех чисел в таблице будет равна сумме всех элементов последовательности 0, 2018, 2*2018, 3*2018, ..., 6*2018, которая, в свою очередь, делится на 2018.

Таким образом, расставив числа в таблице согласно этой схеме, мы получим нужный результат.