Question

Докажите неравенство: а) (2a-1)²>4a(a-1) б) a²-9≥18(a-5)

Answer 1

а) (2a-1)²>4a(a-1)

4a^2-4a+1 >4a^2-4a

б) a²-9≥18(a-5)

a²-9≥18a-90

Answer 2

А)
$4a {}^{2} + 1 - 4a > 4a {}^{2} - 4a \\ 4a {}^{2} + 1 - 4a {}^{2} > 4a - 4a \\ 1 > 0$
б) а^2-9>18а-90
а^2-18а-90>0
(а-9)^2>0

Answer 3

a) Докажем неравенство (2a-1)² > 4a(a-1) для a ∈ ℝ:

Раскроем квадрат слева: (2a-1)² = (2a-1)(2a-1) = 4a² - 2a - 2a + 1 = 4a² - 4a + 1

Теперь раскроем произведение справа: 4a(a-1) = 4a² - 4a

Таким образом, неравенство примет вид: 4a² - 4a + 1 > 4a² - 4a

Вычитаем 4a² и 4a из обеих частей неравенства: 1 > 0

Так как 1 всегда больше 0, то исходное неравенство (2a-1)² > 4a(a-1) выполняется для любого значения a.

б) Докажем неравенство a² - 9 ≥ 18(a-5) для a ∈ ℝ:

Раскроем скобки справа: 18(a-5) = 18a - 90

Теперь неравенство примет вид: a² - 9 ≥ 18a - 90

Перенесем все члены на одну сторону неравенства: a² - 18a + 81 ≥ 0

Теперь попробуем разложить левую часть неравенства на множители: (a - 9)(a - 9) ≥ 0

Получили квадрат выражения (a - 9). Теперь исследуем знак этого выражения.

1. Когда a - 9 > 0, т.е. a > 9: (a - 9)(a - 9) > 0 * (a - 9) (a - 9)(a - 9) > 0

2. Когда a - 9 < 0, т.е. a < 9: (a - 9)(a - 9) < 0 * (a - 9) (a - 9)(a - 9) > 0

Теперь мы видим, что квадрат выражения (a - 9) всегда больше или равен нулю при любых значениях a.

Таким образом, исходное неравенство a² - 9 ≥ 18(a-5) также выполняется для любого значения a.