Question

В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки M и N так, что BM:MA=CN:NA=1:4. Оказалось что отрезок MN содержит центр окружности,вписанный в треугольник ABC. Найдите BC,если AB=24; AC=20. Помогите с решением.

Answer 1

Ответ: 11, 25

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим следующие величины:

Пусть точка D - это точка касания вписанной окружности с стороной BC, тогда AD, BM и CN будут радиусами этой окружности.

Пусть BC = x (неизвестная величина, которую мы хотим найти).

Также, обозначим AM как a и AN как 4a.

Теперь у нас есть следующие отношения:

1. Из теоремы о касательных к окружности: BD = DC = x/2, так как они являются средними пропорциональными между AM и AN, и так как AM:AN = 1:4, а BM:MA=CN:NA=1:4.

2. Из подобия треугольников BMN и ABC:

   BM:AB=CN:AC=1:5 (так как BM:MA=CN:NA=1:4 и AM = a, AN = 4a).

   Таким образом, BM = 24/5 и CN = 20/5 = 4.

3. Также, AM + MN + NC = BC, тогда a + MN + 4a = x.

4. Из пропорции подобных треугольников AMN и ABC:

   MN/AB = AM/AC, MN/24 = a/20.

   Теперь можем выразить MN через a: MN = (24/20) * a = (6/5) * a.

Теперь, объединим полученные данные и найдем x:

a + (6/5) * a + 4a = x, (16/5) * a = x, a = (5/16) * x.

Теперь, у нас есть выражение для a через x. Заменим a в уравнении для MN:

MN = (6/5) * a, MN = (6/5) * (5/16) * x, MN = (3/8) * x.

Теперь можем выразить BC через x:

BC = a + MN + NC, BC = (5/16) * x + (3/8) * x + 4, BC = (5/16 + 3/8) * x + 4, BC = (10/16 + 6/16) * x + 4, BC = (16/16) * x + 4, BC = x + 4.

Теперь нам нужно найти x, чтобы вычислить BC. Для этого воспользуемся информацией, что отрезок MN содержит центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Центр вписанной окружности разделяет медиану треугольника (т.е. отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны) в отношении 2:1. Таким образом, MN будет равняться половине BC, следовательно:

MN = (1/2) * BC, (3/8) * x = (1/2) * (x + 4).

Теперь решим уравнение:

3x = 4x + 8, 4x - 3x = 8, x = 8.

Таким образом, BC = x + 4 = 8 + 4 = 12. Ответ: BC = 12.