Question

Знайти площу фігури обмеженої лініями y=ѵх x=0 x=4 y=0

Answer 1

Ответ: S = 5 1/3 (ед²)

Пошаговое объяснение:

Площадь интеграл разности функций.

$S=\int\limits^4_0 {\sqrt{x} } \, dx=\frac{2\sqrt[2]{x^3}}{3}=\frac{16}{3}$

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Для знаходження площі фігури, обмеженої лініями, необхідно знайти інтеграл подвійний функції, яка представляє площу даної області.

Обмеження фігури:

1. Лінія y = vx
2. Лінія x = 0
3. Лінія x = 4
4. Лінія y = 0

Спершу зобразимо ці лінії, щоб було зрозуміло, яка область обмежується ними:

Для цього змалюємо графіки кожної лінії на площині:

1. y = vx:

Залежно від значення параметра v, графіки будуть різними. Наприклад, при v = 1:

Copy code
 ^

y=4 | * y=3 | * y=2 | * y=1 | * y=0 |___________ 0 1 2 3 4 ---> x

2. x = 0:

   ^ y=4 | * y=3 | * y=2 | * y=1 | * y=0 | * |___________ 0 1 2 3 4 ---> x

3. x = 4:

   ^ y=4 | * y=3 | * y=2 | * y=1 | * y=0 |_____________* 0 1 2 3 4 ---> x

4. y = 0:

   ^ y=4 | y=3 | y=2 | y=1 | y=0 |______________ 0 1 2 3 4 ---> x

Тепер давайте знайдемо точки перетину ліній між собою:

1. Точка перетину ліній y = vx і y = 0:

Коли y = 0, підставимо це значення у першу лінію: 0 = vx x = 0

Таким чином, точка перетину знаходиться при (x, y) = (0, 0).

2. Точка перетину ліній x = 0 і y = 0:

Це точка початку координат (x, y) = (0, 0).

3. Точка перетину ліній x = 4 і y = 0:

Ця точка має координати (x, y) = (4, 0).

Тепер ми можемо записати інтеграл для знаходження площі:

$\text{Площа} = \int_{0}^{4} \int_{0}^{v \cdot x} dy dx$

Зверніть увагу, що ми обмежили інтегрування відповідно до графіку ліній y = 0 та y = vx.

Тепер, обчислимо цей інтеграл:

$\text{Площа} = \int_{0}^{4} \left[ y \right]_{0}^{v \cdot x} dx$ $\text{Площа} = \int_{0}^{4} v \cdot x \, dx$ $\text{Площа} = v \cdot \int_{0}^{4} x \, dx$ $\text{Площа} = v \cdot \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$ $\text{Площа} = v \cdot \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$ $\text{Площа} = v \cdot \left( \frac{16}{2} - 0 \right)$ $\text{Площа} = 8v$

Отже, площа фігури обмеженої лініями y = vx, x = 0, x = 4, y = 0 дорівнює 8v.