Question

(x+y)^4<8(x^4+y^4) нужно доказать Помогите

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ = x⁴ + y ⁴ + 4xy(x² + y²) + 3*2x²y² = [2xy ≤ x² + y²] ≤

≤ x⁴ + y ⁴ + 2(x² + y²)² + 3(x⁴ + y⁴) = x⁴ + y⁴ + 2x⁴ + 2y⁴ + 4x²y² + 3x⁴ + 3y⁴ ≤

≤ 6x⁴ + 6y⁴ 2(x⁴ + y⁴) = 8(x⁴ + y⁴)

что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте докажем данное неравенство по шагам. Приступим:

Исходное неравенство: (x+y)^4 < 8(x^4 + y^4)

Шаг 1: Раскроем степень слева в левой части неравенства.

(x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) (x+y)^4 = (x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)

Шаг 2: Раскроем скобку справа в правой части неравенства.

8(x^4 + y^4) = 8x^4 + 8y^4

Шаг 3: Теперь заменим (x+y)^4 и 8(x^4 + y^4) в исходном неравенстве:

(x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) < 8x^4 + 8y^4

Шаг 4: Разделим обе части неравенства на 8:

(x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) / 8 < (8x^4 + 8y^4) / 8

(x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) / 8 < x^4 + y^4

Шаг 5: Раскроем скобку в левой части неравенства:

(x+y)(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) / 8 = (x^4 + x^3y + 3x^3y + 3x^2y^2 + xy^3 + 3x^2y^2 + 3xy^3 + 3x^2y^2 + 3xy^3 + y^4) / 8

Шаг 6: Упростим выражение:

(x^4 + x^3y + 3x^3y + 3x^2y^2 + xy^3 + 3x^2y^2 + 3xy^3 + 3x^2y^2 + 3xy^3 + y^4) / 8 = (x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4) / 8

Шаг 7: Теперь заменим полученное выражение в исходном неравенстве:

(x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4) / 8 < x^4 + y^4

Шаг 8: Уберем общий знаменатель, умножив обе части неравенства на 8:

x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 < 8(x^4 + y^4)

Шаг 9: Теперь вычтем x^4 и y^4 из обеих частей неравенства:

4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 < 7x^4 + 7y^4

Шаг 10: Вынесем общий множитель 4xy:

4xy(x^2 + xy + y^2) < 7x^4 + 7y^4

Шаг 11: Поскольку x^2 + xy + y^2 является всегда положительным, мы можем разделить обе части на это выражение без изменения знака неравенства:

4xy < 7x^4 + 7y^4 / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 12: Поскольку x и y ненулевые значения, можно сократить xy на обеих частях:

4 < 7(x^3 + y^3) / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 13: Воспользуемся фактом, что x^3 + y^3 всегда больше либо равно x^2y + xy^2 (это можно доказать, используя факторизацию или неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим):

x^3 + y^3 >= x^2y + xy^2

Шаг 14: Раскроем знаменатель на правой стороне неравенства:

7(x^3 + y^3) / (x^2 + xy + y^2) >= 7(x^2y + xy^2) / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 15: Мы знаем, что x^2y + xy^2 = xy(x + y) и x + y = (x + y)^2 - 2xy. Подставим это обратно в выражение:

7(x^2y + xy^2) / (x^2 + xy + y^2) = 7(xy(x + y)) / (x^2 + xy + y^2) = 7(xy((x + y)^2 - 2xy)) / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 16: Сократим xy на обеих частях:

7((x + y)^2 - 2xy) / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 17: Заменим x + y на (x + y)^2 - 2xy:

7(((x + y)^2 - 2xy) / (x^2 + xy + y^2)) = 7((x + y)^2 - 2xy) / (x^2 + xy + y^2)

Шаг 18: Раскроем числитель:

7((x + y)^2 - 2xy) = 7(x^2 + 2xy + y^2 - 2xy) = 7(x^2 + y^2)

Шаг 19: Подставим обратно в и