Question

Найдите наибольшее значение функции y=8ln(x+5)-8x+3

Answer 1

Ответ:

y(-4) = 35 - наибольшее значение

Пошаговое объяснение:

Замечаем, что x > -5 (область определения логарифма)

Находим производную функции:

y' = (8ln(x + 5) - 8x + 3)' = 8 / (x + 5) - 8

Ищем нули производной:

8 / (x + 5) - 8 = 0 | ÷ 8

(1 - x - 5) / (x + 5) = 0

(-x - 4) / (x + 5) = 0

x = -4 - единственный нуль производной, причем:

при x > -4, y' < 0;

при -5 < x < -4, y' > 0

то есть при переходе через x = -4 производная меняет свой знак с + на -, а значит при x = -4 получаем максимум. С учетом того, что точка максимума - единственная критическая точка непрерывной функции, то в этой точке наша функция достигает своего наибольшего значения.

y(-4) = -8 · (-4) + 3 = 35 - наибольшее значение

Answer 2

Для найти наибольшее значение функции y = 8ln(x + 5) - 8x + 3, нужно найти точку экстремума, а именно максимум. Для этого выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции y по x.
2. Решим уравнение y'(x) = 0, чтобы найти точку экстремума.
3. Проверим, является ли найденная точка экстремума максимумом или минимумом.

Шаг 1: Для нахождения производной функции y по x, используем правило дифференцирования логарифма и суммы функций:

y'(x) = d/dx[8ln(x + 5) - 8x + 3] = 8 * (1/(x + 5)) - 8.

Шаг 2: Решим уравнение y'(x) = 0:

8 * (1/(x + 5)) - 8 = 0.

Для этого добавим 8 на обе стороны уравнения и затем умножим на (x + 5):

8 * (1/(x + 5)) = 8.

1/(x + 5) = 1.

Теперь возведем обе стороны уравнения в степень -1:

x + 5 = 1.

Теперь вычтем 5 из обеих сторон:

x = 1 - 5.

x = -4.

Шаг 3: Теперь найдем значение y в точке экстремума (x = -4):

y = 8ln(-4 + 5) - 8(-4) + 3 y = 8ln(1) + 32 + 3 y = 8 * 0 + 32 + 3 y = 32 + 3 y = 35.

Таким образом, наибольшее значение функции y = 8ln(x + 5) - 8x + 3 равно 35 и достигается при x = -4.