Question

Розвязати диференціальні рівняння x^2y'=y^2-xy+x^2

Answer 1

$x^2y'=y^2-xy+x^2\\\\y'=(\frac{y}{x})^2-\frac{y}{x}+1\\\\u=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=ux\; ,\; \; y'=u'x+u\\\\u'x+u=u^2-u+1\\\\u'x=u^2-2u+1\\\\u'x=(u-1)^2\\\\\int \frac{du}{(u-1)^2}=\int \, \frac{dx}{x}\\\\\frac{(u-1)^{-1}}{-1}=ln|x|+C\\\\-\frac{1}{u-1}=ln|x|+C\\\\\frac{y}{x}-1=-\frac{1}{ln|x|+C}\\\\y=x\cdot (1-\frac{1}{ln|x|+C})\\\\y=x\cdot \frac{ln|x|+C-1}{ln|x|+C}$

Answer 2

Для того щоб розв'язати дане диференціальне рівняння, спочатку перепишемо його у вигляді, зручному для розв'язання:

x^2y' = y^2 - xy + x^2.

Зробимо підстановку, введемо нову змінну v = y^2. Тоді v' = (d/dx)(y^2), і підставивши це у диференціальне рівняння, отримаємо:

x^2 (d/dx)(y^2) = v - xy + x^2.

Тепер продиференціюємо вираз v за x:

(d/dx)(v) = (d/dx)(y^2) = 2y * (d/dx)(y) = 2y * y'.

Тепер підставимо це у диференціальне рівняння:

x^2 (2y * y') = v - xy + x^2.

Тепер замінимо x^2 y' виразом з диференціального рівняння:

2x^2y^2 = v - xy + x^2.

Тепер можемо виразити v через y:

v = 2x^2y^2 + xy - x^2.

Тепер можемо знайти вираз для y' з диференціального рівняння x^2y' = v - xy + x^2:

x^2y' = 2x^2y^2 + xy - x^2 - xy + x^2, x^2y' = 2x^2y^2 - xy.

Зараз можемо знайти y':

y' = (2x^2y^2 - xy) / x^2, y' = 2y^2 - y.

Тепер маємо диференціальне рівняння y' = 2y^2 - y, яке є диференціальним рівнянням першого порядку зі змінними розділеннями. Зараз розв'яжемо його.

Спочатку виділимо y з правої сторони:

y' = y(2y - 1).

Тепер розділимо змінні, перемістимо все, що містить y зліва, а все, що містить x справа:

(1 / (2y - 1)) dy = dx.

Тепер проінтегруємо обидві частини:

∫(1 / (2y - 1)) dy = ∫dx.

Ліва сторона може бути проінтегрована як логарифм:

ln|2y - 1| = x + C1,

де C1 - це стала інтеграції.

Тепер відділимо вираз 2y - 1 від логарифма:

2y - 1 = e^(x + C1).

Далі, розв'яжемо це рівняння відносно y:

2y = e^(x + C1) + 1, y = (1/2) * (e^(x + C1) + 1).

Тепер можемо переписати константу C1 в загальний вигляд як C, оскільки будь-яка константа може бути замінена іншою константою:

y = (1/2) * (e^x + C).

Це є загальний розв'язок диференціального рівняння.