Question

Найдите точку минимума функции y=(x+22)e^x-22

Answer 1

Ответ:

(-23, -e^(-23)-22)

Пошаговое объяснение:

y' = e^x + (x + 22) * e^x

y' = e^x * (x + 23)

min: y' = 0 = e^x * (x + 23)

x = -23

y_min = (-23+22)*(e^(-23)) - 22 = -e^(-23) - 22

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции $y = (x+22)e^x - 22$, необходимо найти значения $x$ и $y$, при которых производная функции равна нулю. Точка минимума будет находиться в той точке, где кривая функции пересекает ось $x$ и производная меняет свой знак с "плюс" на "минус".

Шаги для нахождения точки минимума:

1. Найдем производную функции $y$ по $x$.

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение для нахождения критических точек.

3. Проверим значения производной и функции в найденных критических точках, чтобы определить, является ли каждая из них точкой минимума.

4. Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y = (x + 22)e^x - 22$

Используем правило производной произведения:

$y' = (1 + x)e^x + e^x$

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

$0 = (1 + x)e^x + e^x$

$0 = e^x(1 + x + 1)$

$0 = e^x(x + 2)$

Таким образом, $e^x = 0$ или $x + 2 = 0$.

Так как $e^x$ всегда положительно, то $e^x$ не может быть равно нулю. Поэтому решаем уравнение $x + 2 = 0$:

$x = -2$

3. Проверим значения производной и функции в найденной критической точке $x = -2$:

$y'(-2) = (1 - 2)e^{-2} = -e^{-2} < 0$

$y(-2) = (-2 + 22)e^{-2} - 22 = 20e^{-2} - 22$

Так как $e^{-2}$ положительно (поскольку экспонента с отрицательным аргументом всегда положительна), а коэффициент 20 также положителен, то $20e^{-2} - 22$ будет отрицательным числом.

Таким образом, точка $x = -2$ является точкой минимума функции $y = (x+22)e^x - 22$.

Также заметим, что при $x \to -\infty$ функция будет стремиться к $-\infty$, а при $x \to +\infty$ функция будет стремиться к $+\infty$, поэтому у функции нет других экстремумов.