Question

Помогите решить ЛНДУ 2 порядка методом Лагранжа y'' -2y= 4x^3e^x^2

Answer 1

Ответ:

ИЗИ. 4

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) второго порядка методом Лагранжа, мы сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем частное решение неоднородной части.

ЛНДУ второго порядка: y'' - 2y = 4x^3 * e^(x^2)

1. Найдем общее решение однородной части уравнения (y'' - 2y = 0): Для этого предположим, что y имеет вид y(x) = e^(mx), где m - неизвестная константа.

Подставим y(x) в уравнение: y''(x) - 2y(x) = e^(mx) * (m^2 - 2) = 0

Теперь найдем m: m^2 - 2 = 0 m^2 = 2 m = ±√2

Таким образом, общее решение однородной части уравнения: y_h(x) = C1 * e^(√2 * x) + C2 * e^(-√2 * x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородной части уравнения: Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) * e^(x^2), где A, B, C и D - неизвестные коэффициенты.

Теперь продифференцируем y_p(x) дважды и подставим в исходное уравнение: y_p''(x) = (6Ax + 2B) * e^(x^2) + (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) * (2x * e^(x^2)) y_p''(x) - 2y_p(x) = (6Ax + 2B) * e^(x^2) + (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) * (2x * e^(x^2)) - 2 * (Ax^3 + Bx^2 + Cx + D) * e^(x^2) = (6Ax + 2B - 2Ax^3 - 2Bx^2 - 2Cx - 2D) * e^(x^2)

Теперь приравняем это выражение к правой части исходного уравнения: (6Ax + 2B - 2Ax^3 - 2Bx^2 - 2Cx - 2D) * e^(x^2) = 4x^3 * e^(x^2)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x: -2Ax^3 = 4x^3 => A = -2 -2Bx^2 - 2Cx = 0 => B = C = 0 2B - 2D = 0 => B = D = 0

Таким образом, частное решение: y_p(x) = -2x^3 * e^(x^2).

3. Теперь общее решение исходного ЛНДУ: y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 * e^(√2 * x) + C2 * e^(-√2 * x) - 2x^3 * e^(x^2).

Где C1 и C2 - произвольные постоянные. Это будет общим решением данного ЛНДУ второго порядка методом Лагранжа.