Question

Решить ЛНДУ второго порядка 2y’’-y’=1 , y(0)=0, y’(0)=1

Answer 1

$2\lambda^2-\lambda=0=>\lambda=0\;\;\;\;\;\;\lambda=\dfrac{1}{2}\\ y_{oo}=C_1+C_2e^{\dfrac{x}{2}}\\ y=Cx=>2*0-C=1=>C=-1=>y_{r_H}=-x\\ y=y_{oo}+y_{r_H}=C_1+C_2e^{\dfrac{x}{2}}-x$

Answer 2

Для решения данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, мы должны использовать метод вариации произвольных постоянных. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения и затем найдем частное решение неоднородного уравнения.

Данное ЛНДУ имеет вид: 2y'' - y' = 1.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения (2y'' - y' = 0). Для этого предположим, что y имеет вид y = e^(rt), где r - неизвестная константа, а t - независимая переменная (в данном случае t является переменной времени).

Подставим предположенное решение в уравнение:

2(e^(rt))'' - (e^(rt))' = 0,

где (e^(rt))'' обозначает вторую производную от e^(rt), а (e^(rt))' - первую производную.

Найдем производные:

(e^(rt))' = r * e^(rt),

(e^(rt))'' = r^2 * e^(rt).

Подставим их обратно в уравнение:

2(r^2 * e^(rt)) - (r * e^(rt)) = 0.

Теперь выразим общее решение для однородного уравнения, считая, что e^(rt) ≠ 0 (чтобы избежать тривиального решения):

2r^2 * e^(rt) - r * e^(rt) = 0,

e^(rt) * (2r^2 - r) = 0.

Для ненулевого решения уравнения должно выполняться условие:

2r^2 - r = 0.

Факторизуем:

r(2r - 1) = 0.

Таким образом, получаем два значения r:

1. r₁ = 0,
2. r₂ = 1/2.

Теперь можем записать общее решение однородного уравнения:

y_h(t) = c₁ * e^(0t) + c₂ * e^(1/2 * t),

где c₁ и c₂ - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения (2y'' - y' = 1). Для этого предположим, что частное решение имеет вид y_p = At + B, где A и B - неизвестные константы.

Теперь найдем первую и вторую производные частного решения:

y_p' = A,

y_p'' = 0.

Подставим производные в уравнение:

2 * 0 - A = 1,

A = -1.

Таким образом, частное решение:

y_p(t) = -t + B.

Шаг 3: Найдем значения константы B, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1.

y(0) = -0 + B = 0, B = 0.

Теперь у нас есть частное решение:

y_p(t) = -t.

Шаг 4: Запишем общее решение неоднородного уравнения, учитывая общее решение однородного и частное решение:

y(t) = y_h(t) + y_p(t), y(t) = c₁ * e^(0t) + c₂ * e^(1/2 * t) - t.

Шаг 5: Используем начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 1, чтобы определить значения констант c₁ и c₂:

y(0) = c₁ * e^(0 * 0) + c₂ * e^(1/2 * 0) - 0 = c₁, c₁ = 0.

y'(t) = c₂ * (1/2) * e^(1/2 * t) - 1,

y'(0) = c₂ * (1/2) * e^(1/2 * 0) - 1 = c₂ * (1/2) - 1 = 1, c₂ * (1/2) = 2, c₂ = 4.

Таким образом, окончательное решение данного ЛНДУ:

y(t) = 4 * e^(1/2 * t) - t.