Question

ЛНДУ второго порядка. y''-16y=3xsin4x+cos4x

Answer 1

Рассмотрите предложенное решение. Оформление не соблюдалось.

Answer 2

Чтобы решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка, сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, а затем найдём частное решение неоднородного уравнения.

Однородное уравнение

Для начала рассмотрим однородное уравнение y'' - 16y = 0. Чтобы найти его общее решение, предположим, что y имеет вид y = e^(rx), где r - неизвестная константа.

Подставим это предположение в уравнение и получим:

r^2e^(rx) - 16e^(rx) = 0.

Факторизуем это уравнение:

e^(rx)(r^2 - 16) = 0.

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Это значит, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. e^(rx) = 0. Это невозможно, так как экспонента не равна нулю ни при каком значении x.

2. r^2 - 16 = 0. Решим это квадратное уравнение:

r^2 = 16.

r = ±4.

Таким образом, общее решение однородного уравнения y'' - 16y = 0 имеет вид:

y_h(x) = C1e^(4x) + C2e^(-4x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Частное решение неоднородного уравнения

Теперь найдём частное решение для неоднородного уравнения y'' - 16y = 3xsin(4x) + cos(4x).

Чтобы найти частное решение, воспользуемся методом вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид y_p(x) = A(x)sin(4x) + B(x)cos(4x), где A(x) и B(x) - функции, которые нужно найти.

Тогда:

y_p'(x) = A'(x)sin(4x) + B'(x)cos(4x) + 4A(x)cos(4x) - 4B(x)sin(4x),

y_p''(x) = A''(x)sin(4x) + B''(x)cos(4x) + 8A'(x)cos(4x) - 8B'(x)sin(4x) - 16A(x)sin(4x) - 16B(x)cos(4x).

Подставим y_p(x), y_p'(x) и y_p''(x) в неоднородное уравнение:

(A''(x)sin(4x) + B''(x)cos(4x) + 8A'(x)cos(4x) - 8B'(x)sin(4x) - 16A(x)sin(4x) - 16B(x)cos(4x)) - 16(A(x)sin(4x) + B(x)cos(4x)) = 3xsin(4x) + cos(4x).

Сгруппируем слагаемые синусов и косинусов:

(A''(x) - 16A(x) + 8B'(x))sin(4x) + (B''(x) - 16B(x) - 8A'(x))cos(4x) = 3xsin(4x) + cos(4x).

Так как левая часть уравнения содержит только синусы и косинусы, а правая часть содержит только x, мы можем приравнять коэффициенты при синусах и косинусах на обеих сторонах уравнения:

A''(x) - 16A(x) + 8B'(x) = 0, (1) B''(x) - 16B(x) - 8A'(x) = 1. (2)

Решим эти два дифференциальных уравнения:

Дифференцируя (1) по x, получим:

A'''(x) - 16A'(x) + 8B''(x) = 0. (3)

Дифференцируя (2) по x, получим:

B'''(x) - 16B'(x) - 8A''(x) = 0. (4)

Теперь решим систему уравнений (1), (2), (3) и (4).