Question

Побудуйте графік функції y=|x-1|/(x^2-5x+4).Користуючись графіком ,визначте область значень цієї функції

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для побудови графіка функції $y=\frac{|x-1|}{x^2-5x+4}$ спочатку знайдемо точки, в яких функція може мати розриви чи асимптоти, і перевіримо наявність вертикальних асимптот.

1. Знаходження розривів: Функція має розриви, коли $x^2-5x+4 = 0$, оскільки знаменник не може дорівнювати нулю. Розв'яжемо квадратне рівняння:

$x^2-5x+4 = 0$

Факторизуємо:

$(x-4)(x-1) = 0$

$x = 4$ або $x = 1$

Таким чином, функція має дві можливі точки розриву у $x = 1$ та $x = 4$.

2. Знаходження асимптот: Функція може мати вертикальну асимптоту, коли $x$ наближається до значення, де знаменник дорівнює нулю. Оскільки ми знаємо, що $x = 4$ та $x = 1$ є коренями знаменника, то ці значення можуть бути вертикальними асимптотами.

Тепер, побудуємо графік функції:

1. Взнаємо значення функції для декількох точок навколо точок розриву і поблизу потенційних асимптот.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0.5 & 0.8 & 1.0 & 1.2 & 3.0 & 5.0 \\ \hline y=\frac{|x-1|}{x^2-5x+4} & 0.59 & 0.89 & \text{undefined} & 1.56 & 0.27 & \text{undefined} \\ \hline \end{array}$$

2. Побудуємо графік за отриманими точками:

Тепер давайте з'ясуємо область значень функції. Область значень - це множина всіх можливих значень $y$, які може набувати функція $y=\frac{|x-1|}{x^2-5x+4}$.

З графіка, ми бачимо, що функція є обмеженою, оскільки вона має вертикальні асимптоти та розриви. Також ми бачимо, що при $x$ наближається до $4$ або $1$, $y$ набуває великих значень.

Отже, область значень функції $y=\frac{|x-1|}{x^2-5x+4}$ - це всі можливі значення $y$ з винятком цих великих значень, які відповідають точкам розриву та асимптотам.

Приблизна область значень цієї функції: $y \in \mathbb{R}, y \neq \{ \text{великі значення при } x \to 1 \text{ та } x \to 4 \}$.