Question

помогите пожалуйста решить! Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями: x=2(cost + sint), y=2(sint - cost), 0≤t≤пи/2

Answer 1

решение на фотографии.

Answer 2

Для вычисления длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вам необходимо воспользоваться формулой для длины дуги:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

где $a$ и $b$ - начальное и конечное значения параметра $t$, соответственно.

В данном случае у вас заданы параметрические уравнения:

$x = 2(\cos t + \sin t)$ $y = 2(\sin t - \cos t)$

Теперь найдем производные $\frac{dx}{dt}$ и $\frac{dy}{dt}$:

$\frac{dx}{dt} = 2(-\sin t + \cos t)$ $\frac{dy}{dt} = 2(\cos t + \sin t)$

Теперь подставим эти производные в формулу для длины дуги и проинтегрируем по $t$ от $0$ до $\frac{\pi}{2}$:

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\left(2(-\sin t + \cos t)\right)^2 + \left(2(\cos t + \sin t)\right)^2} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4(\sin^2 t - 2\sin t\cos t + \cos^2 t) + 4(\cos^2 t + 2\sin t\cos t + \sin^2 t)} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{4(2\sin^2 t + 2\cos^2 t)} dt$

$L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{8} dt$

Теперь проинтегрируем:

$L = \sqrt{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt$

$L = \sqrt{8} \left[ t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$L = \sqrt{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right)$

$L = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

Таким образом, длина дуги кривой составляет $\frac{\pi}{\sqrt{2}}$