Question

Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями. x=3(t-sint)y=3(1-cost)pi=

Answer 1

$\displaystyle L=\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{(y_t')^2+(x_t')^2}\mathrm{dt}=*\\\\ x_t'=\left(3(t-\sin{t})\right)'_t=3(1-\cos{t})\\y_t'=\left(3(1-\cos{t})\right)'_t=3\sin{t}\\ (y_t')^2+(x_t')^2=9-18\cos{t}+9\cos^2{t}+9\sin^2{t}=18(1-\cos{t}) \\\\ *=\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{18(1-\cos{t})}\mathrm{dt}=3\sqrt{2}\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{1-\cos{t}}\mathrm{dt}=3\sqrt{2}\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{1-\cos{2t\over2}}\mathrm{dt}=3\sqrt{2}\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{1-\cos^2{t\over2}+\sin^2{t\over2}}\mathrm{dt}=3\sqrt{2}\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{\sin^2{t\over2}+\cos^2{t\over2}-\cos^2{t\over2}+\sin^2{t\over2}}\mathrm{dt}=6\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{\sin^2{t\over2}}\mathrm{dt}=12\int_{\pi}^{2\pi}\sqrt{\sin^2{t\over2}}\mathrm{d{t\over2}}=*\\\\t\in[\pi;2\pi]\Rightarrow\;\; \sin^2{t\over2}\geq0\\\\ *=12\int_{\pi}^{2\pi}\sin{t\over2}\mathrm{d{t\over2}}=-12\cos{t\over2}\bigg|_{\pi}^{2\pi}=-12(\cos{\pi}-\cos{\pi\over2})=12$

Answer 2

Для вычисления длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями, нужно использовать формулу для длины дуги кривой в параметрической форме. Если кривая задана параметрически как x(t) и y(t), то длина дуги на интервале [a, b] вычисляется следующим образом:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt$

где $x'(t)$ и $y'(t)$ - производные по t от x и y соответственно.

В данном случае у нас заданы параметрические уравнения:

$x(t) = 3(t - \sin t)$ $y(t) = 3(1 - \cos t)$

Для вычисления производных $x'(t)$ и $y'(t)$ сначала найдем производные по t от каждой компоненты:

$x'(t) = 3(1 - \cos t)$ $y'(t) = 3\sin t$

Теперь можем вычислить длину дуги на интервале [0, $\pi$]:

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{(3(1 - \cos t))^2 + (3\sin t)^2} \, dt$

$L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 9\sin^2 t} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{9 - 18\cos t + 9\cos^2 t + 9\sin^2 t} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{9 - 18\cos t + 9(\cos^2 t + \sin^2 t)} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{9 - 18\cos t + 9} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{18 - 18\cos t} \, dt$ $L = \int_{0}^{\pi} 3\sqrt{2 - 2\cos t} \, dt$

Теперь произведем замену переменной, положив $u = 2 - 2\cos t$. Тогда $du = 2\sin t \, dt$, и при $t = 0$ получим $u = 2$, а при $t = \pi$ получим $u = 4$:

$L = \int_{2}^{4} \frac{3\sqrt{u}}{2} \, du$