Question

Вычислить длину дуги заданной плоской кривой. {x=9(t-sint) {y=9(1-cost) 0<=t<=2п

Answer 1

Смотри решение на фото

Answer 2

Для вычисления длины дуги заданной плоской кривой необходимо использовать формулу длины дуги кривой: L = ∫(a, b) √(x'(t)^2 + y'(t)^2) dt,

где x'(t) и y'(t) - производные функций x(t) и y(t), a и b - начальное и конечное значения параметра t.

Для данной кривой x(t) = 9(t - sin(t)), y(t) = 9(1 - cos(t)), параметр t находится в пределах от 0 до 2π.

Вычислим производные функций x(t) и y(t) по параметру t: x'(t) = 9(1 - cos(t)), y'(t) = 9sin(t).

Теперь подставим производные в формулу длины дуги: L = ∫(0, 2π) √( (9(1 - cos(t)))^2 + (9sin(t))^2 ) dt = ∫(0, 2π) √( 81(1 - 2cos(t) + cos^2(t)) + 81sin^2(t) ) dt = ∫(0, 2π) √( 81 - 162cos(t) + 81cos^2(t) + 81sin^2(t) ) dt = ∫(0, 2π) √( 81 - 162cos(t) + 81 ) dt = ∫(0, 2π) √( 162 - 162cos(t) ) dt = ∫(0, 2π) 9√( 2 - 2cos(t) ) dt.

Для вычисления этого интеграла требуется использовать метод интегрирования. Полученное значение интеграла будет являться длиной дуги заданной плоской кривой.