Question

1.Вычислить площадь криволинейного треугольника, ограниченного осью ординат и линиями y=tg(x) ; y=2/3Cos(x). 2.Одна арка циклоиды x=a(t-sint) y=a(1-cost) вращается вокруг своего основания. Вычислить объем тела, которое при этом получается. 3.Вычислить длину дуги линии y=sqrt cost на отрезке [-п/2;x]

Answer 1

Возводим обе части в квадрат.
дальше система
2-3cos2x=sinx
2-3cos2x>= 0
sinx >=0
__________________
2-3cos2x=sinx
2-3(1-2sin^2x)=sinx
2-3+6sin^2x-sinx=0
sinx=t
2-3+6t^2-t=0
6t^2-t-1=o
D=25
x1=-1/3
x2-1/2

если син х= -1/3,то
х=(-1)^n arcsin(-1/3) +pn n prinadlejit Z
x= (-1)^n+1 arcsin 1/3 +pn n prinadlejit Z

если син х=1/2,то
x=(-1)^n arcsin 1/2 +pk k prinadlejit Z
x= (-1)^n p/6 +pk k prinadlejit Z

Answer 2

Решение задачи 1: Вычисление площади криволинейного треугольника

Для вычисления площади криволинейного треугольника, ограниченного осью ординат и линиями y = tg(x) и y = 2/3Cos(x), мы можем использовать метод интегрирования.

Первым шагом будет найти точки пересечения двух функций y = tg(x) и y = 2/3Cos(x).

Обозначим эти точки как A и B. Для этого приравняем два уравнения и решим полученное уравнение относительно x:

tg(x) = 2/3Cos(x)

Умножим обе части уравнения на 3Cos(x):

3Cos(x)tg(x) = 2Cos(x)

Подставим tg(x) = sin(x)/cos(x):

3sin(x) = 2Cos(x)

Поделим обе части на Cos(x):

3tan(x) = 2

Решим это уравнение численно, используя подходящий метод, например, метод Ньютона.

После нахождения точек A и B, мы можем найти площадь криволинейного треугольника, используя формулу для площади под кривой:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - координаты точек A и B соответственно, f(x) - верхняя функция (в данном случае y = tg(x)), g(x) - нижняя функция (в данном случае y = 2/3Cos(x)).

Решение задачи 2: Вычисление объема тела, получаемого вращением арки циклоиды

Для вычисления объема тела, получаемого вращением арки циклоиды вокруг своего основания, мы можем использовать метод цилиндров.

Арка циклоиды задается уравнениями:

x = a(t - sin(t)) y = a(1 - cos(t))

где a - параметр, t - параметр времени.

Мы можем рассматривать арку циклоиды как множество точек, получаемых вращением отрезка [0, t] вокруг оси OX.

Разобьем этот отрезок на n частей и рассмотрим цилиндр, образованный вращением каждого из этих отрезков. Объем каждого цилиндра можно вычислить как площадь основания, умноженную на высоту.

Высота каждого цилиндра равна разности значений функции y на отрезке [t_i, t_{i+1}], где t_i и t_{i+1} - точки разбиения отрезка [0, t].

Площадь основания цилиндра можно выразить через x и y, используя формулу:

S = πy^2

Таким образом, объем всего тела можно вычислить, сложив объемы всех цилиндров:

V = ∑[i=0 to n-1] (πy_i^2 * h_i)

где y_i - значение функции y на отрезке [t_i, t_{i+1