Question

Нужно произвести полное исследование функции и построить график этой функции.(2x^3+1)/x^2 1 Область определения 2 Промежутки знакопостоянства и нули функции 3.четность, нечетность 4.монотонность 5.вогнутость, выпуклость.точки перегиба 6.асимптоты

Answer 1

Для функции $f(x) = \frac{{2x^3 + 1}}{{x^2}}$ проведем полное исследование, шаг за шагом:

1. Область определения: Область определения функции - это множество всех допустимых значений $x$ для данной функции. В данном случае функция определена для всех $x$ за исключением $x = 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Поэтому область определения функции $f(x)$ - $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

2. Промежутки знакопостоянства и нули функции: Чтобы найти промежутки знакопостоянства и нули функции, нужно решить уравнение $f(x) = 0$ и определить знак функции на каждом интервале.

Решим уравнение: $\frac{{2x^3 + 1}}{{x^2}} = 0$ $2x^3 + 1 = 0$ $2x^3 = -1$ $x^3 = -\frac{1}{2}$ $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}} \approx -0.7937$

Таким образом, функция имеет один ноль при $x \approx -0.7937$.

Теперь определим знак функции на различных интервалах:

1. Для $x < -0.7937$: Возьмем $x = -1$ (значение меньше $-0.7937$). $f(-1) = \frac{{2 \cdot (-1)^3 + 1}}{{(-1)^2}} = -1$. Таким образом, на этом интервале $f(x) < 0$.

2. Для $-0.7937 < x < 0$: Возьмем $x = -\frac{1}{2}$ (значение между $-0.7937$ и $0$). $f\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{{2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 1}}{{\left(-\frac{1}{2}\right)^2}} = 5$. Таким образом, на этом интервале $f(x) > 0$.

3. Для $x > 0$: Возьмем $x = 1$ (значение больше $0$). $f(1) = \frac{{2 \cdot 1^3 + 1}}{{1^2}} = 3$. Таким образом, на этом интервале $f(x) > 0$.

Таким образом, промежутки знакопостоянства: $x < -0.7937$ (функция отрицательна), $-0.7937 < x < 0$ (функция положительна), $x > 0$ (функция положительна).

3. Четность, нечетность: Для функции $f(x)$, проверим ее четность и нечетность.

Четность функции означает, что $f(x) = f(-x)$ для всех $x$ в области определения. Нечетность функции означает, что $f(x) = -f(-x)$ для всех $x$ в области определения.

Для данной функции $f(x) = \frac{{2x^3 + 1}}{{x^2}}$ нам нужно проверить, выполняются ли данные равенства:

Проверим четность: $f(-x) = \frac{{2(-x)^3 + 1}}{{(-x)^2}} = \frac{{-2x^3 + 1}}{{x^2}}$

$f(x) \neq f(-x)$ (так как есть слагаемое $2x^3$), следовательно, функция не является четной.

Проверим нечетность: $-f(-x) = -\frac{{2(-x)^3 + 1}}{{(-x)^2}} = -\frac{{-2x^3 + 1}}{{x^2}}$