Question

Докажите неравенство x2 - 3x3 < 1/6 на луче [1/4; + ∞).​

Answer 1

Пусть y = x2 – 3x3. Тогда y' = 2x – 9x2 и с помощью метода интервалов получаем, что y' < 0 при всех x>2/9.

Но 1/4>2/9, следовательно, функция y(x) убывает на луче [1/4; +∞].

Это значит, что x2 - 3x3 < 1/16 - 3/64 = 1/64 < 1/64.

Answer 2

Для доказательства неравенства x^2 - 3x^3 < 1/6 на луче [1/4; +∞), сначала рассмотрим допустимое множество значений x. Нам дано, что x принадлежит лучу [1/4; +∞), поэтому x ≥ 1/4.

Теперь давайте рассмотрим выражение x^2 - 3x^3 и попытаемся оценить его для всех допустимых значений x (x ≥ 1/4).

1. При x = 1/4: x^2 - 3x^3 = (1/4)^2 - 3*(1/4)^3 = 1/16 - 3/64 = 1/64.

2. Посчитаем производную данной функции и найдем максимум или минимум: Пусть f(x) = x^2 - 3x^3, тогда f'(x) = 2x - 9x^2.

Чтобы найти критические точки (где производная равна нулю), решим уравнение: 2x - 9x^2 = 0. x(2 - 9x) = 0.

Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2/9.

3. Оценим значения функции на интервалах [1/4; 0], [0; 2/9] и [2/9; +∞).

a) При x = 0: x^2 - 3x^3 = 0^2 - 3*0^3 = 0.

b) При x = 2/9: x^2 - 3x^3 = (2/9)^2 - 3*(2/9)^3 = 4/81 - 24/729 = 4/81 - 1/27 = (4 - 3)/81 = 1/81.

c) При x → +∞: Поскольку x увеличивается, x^2 становится гораздо больше, чем 3x^3, и x^2 - 3x^3 уходит в положительную бесконечность.

Теперь объединим все оценки: На интервале [1/4; +∞), минимальное значение x^2 - 3x^3 равно 1/81, что больше, чем 1/6. Таким образом, неравенство x^2 - 3x^3 < 1/6 верно для всех x из луча [1/4; +∞).