Question

Исследовать функцию и ПОСТРОИТЬ ГРАФИК x^3/3-x^2-3x-1

Answer 1

Исследование функции у = x^3/3-x^2-3x-1, её график и таблица точек для её построения приведены в приложении  (страница 4).

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3/3 - x^2 - 3x - 1 и построения её графика рассмотрим следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.
2. Вычислим производную и найдем точки экстремума и интервалы монотонности.
3. Вычислим вторую производную и определим выпуклость/вогнутость функции.
4. Найдем точки пересечения с осями координат.
5. Определим поведение функции на бесконечности.
6. Построим график функции.

Шаг 1: Область определения функции Так как функция f(x) содержит только полиномиальные выражения и деление на 3, её область определения - это вся числовая прямая, то есть D(f) = (-∞, +∞).

Шаг 2: Производная функции f'(x) = d/dx (x^3/3 - x^2 - 3x - 1) f'(x) = x^2 - 2x - 3

Для нахождения точек экстремума, решим уравнение f'(x) = 0: x^2 - 2x - 3 = 0

Решим квадратное уравнение: (x - 3)(x + 1) = 0

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 3 и x = -1.

Шаг 3: Интервалы монотонности Для определения интервалов монотонности проанализируем знак производной на разных участках числовой прямой:

1. Когда x < -1: Подставим x = -2 (произвольное число меньше -1) в f'(x) = x^2 - 2x - 3: f'(-2) = (-2)^2 - 2*(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительное значение)

2. Когда -1 < x < 3: Подставим x = 0 (произвольное число между -1 и 3) в f'(x) = x^2 - 2x - 3: f'(0) = (0)^2 - 2*(0) - 3 = -3 (отрицательное значение)

3. Когда x > 3: Подставим x = 4 (произвольное число больше 3) в f'(x) = x^2 - 2x - 3: f'(4) = (4)^2 - 2*(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительное значение)

Итак, на интервале (-∞, -1) функция возрастает, на интервале (-1, 3) убывает и на интервале (3, +∞) снова возрастает.

Шаг 4: Вторая производная и выпуклость/вогнутость функции f''(x) = d/dx (x^2 - 2x - 3) f''(x) = 2x - 2

Определим знак второй производной на интервалах, полученных на шаге 3:

1. Когда x < -1: Подставим x = -2 (произвольное число меньше -1) в f''(x) = 2x - 2: f''(-2) = 2*(-2) - 2 = -6 (отрицательное значение)

2. Когда -1 < x < 3: Подставим x = 0 (произвольное число между -1 и 3) в f''(x) = 2x - 2: f''(0) = 2*(0) - 2 = -2 (отрицательное значение)

3. Когда x > 3: Подставим x = 4 (произвольное число больше 3) в f''(x) = 2x - 2: f''(4) = 2*(4) - 2 = 6 (положительное значение)

На интервале (-∞, -1) функция выпуклая (вниз), на интервале (-1, 3) - вогнутая (вверх), на интервале (3, +∞) - снова выпуклая (вверх).

Шаг 5: Точки пересечения с осями координат Чтобы найти точки пересечения с осями координат, приравняем функцию f(x) к нулю и решим уравнение:

x^3/3 - x^2 - 3x - 1 = 0

Решение этого уравнения может быть сложным, и точные значения корней можно получить численными методами или с помощью калькулятора/компьютера.

Шаг 6: Построение графика функции Теперь, имея всю необходимую информацию, можно построить график функции f(x) = x^3/3 - x^2 - 3x - 1, используя найденные точки экстремума, интервалы монотонности и выпуклости/вогнутости, а также точки пересечения с осями координат.