Question

Найти общее решение дифференциального уравнения 1 - ro порядка с раздепяющимися переменными: dy/y=dx/x-1

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, нужно проинтегрировать обе его стороны.

Уравнение имеет вид: (dy/y) = (dx/x) - 1

Интегрируем обе стороны уравнения:

∫(dy/y) = ∫((dx/x) - 1) dx

Интеграл от (dy/y) равен ln(|y|) + C1, где C1 - произвольная постоянная интегрирования.

Интеграл от (dx/x) равен ln(|x|) + C2, где C2 - другая произвольная постоянная интегрирования.

Теперь уравнение примет вид:

ln(|y|) + C1 = ln(|x|) + C2 - 1

Мы можем объединить постоянные интегрирования в одну новую постоянную, обозначим её как C:

ln(|y|) = ln(|x|) + C

Теперь, чтобы избавиться от натурального логарифма, применим экспоненту к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(ln(|x| + C))

|y| = e^(ln(|x|) + C)

Обратите внимание, что использован модуль вокруг y, так как мы интегрировали левую и правую части уравнения, и константа C может быть положительной или отрицательной, что может изменить знак y.

Теперь упростим выражение:

|y| = e^(ln(|x|)) * e^C

|y| = |x| * e^C

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если e^C равно некоторому положительному числу (e^C > 0), тогда:

y = ± |x| * e^C, где знак ± означает, что y может быть как положительным, так и отрицательным.

2. Если e^C равно нулю (e^C = 0), тогда:

y = 0

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения:

1. y = ± |x| * e^C, где C - произвольная константа.
2. y = 0

Это общее решение уравнения.