Question

Помогите пожалуйста) В правильной пирамиде ОАВСД боковое ребро ОД = 12. Оно наклонено к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите: a) Площадь боковой поверхности пирамиды b) Объем пирамиды c) Угол между противоположными боковыми гранями d) Угол между боковой гранью и плоскостью основания e) Скалярное произведение векторов ОТ и ТА где Т Основание высоты пирамиды, проведенной и О. f) Радиус описанного около пирамиды шара

Answer 1

Ответ:

В основании пирамиды квадрат АВСD. МО– высота пирамиды. ( см. рис.) О– центр квадрата, точка пересечения диагоналей АС и BD.

В прямоугольном треугольнике МОС, ∠ МСО =60°, значит∠СМО=30°.

Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы.

Поэтому ОС=4; АС=2ОС=8.

АС=BD=8 – диагонали квадрата равны и взаимно перпендикулярны.

В точке пересечения делятся пополам. ОС=ОА=ОВ=OD=4

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АОD:

AD²=AO²+OD²=4²+4²=32;

AD=4√2

АВ=ВС=СD=AD=4√2.  

1) площадь боковой поверхности пирамиды

Находим апофему МE из треугольника МEС.

DE=EC=4√2/2=2√2; MC=8.

МE²=MC²–EC²=8²–(2√2)²=64–8=56.

ME=2√14.

S(бок)=4•S(Δ MDC)=4•DC•ME/2=4•(4√2)•2√(14)/2=

=32√7.

2) объем пирамиды

Из прямоугольного треугольника МОC по теореме Пифагора.

МО²=МC²–ОC²=8²–4²=48.

MO=Н=4√3.

V(пирамиды)=(1/3)S(осн.)•Н=

=(1/3)•(4√2)²•(4√3)=(128√3)/3.

3) Это угол образованный двумя апофемами боковых граней МE и МF и отрезком EF, соединяющим середины противоположных сторон квадрата и равным стороне квадрата.

По теореме косинусов:

EF²=ME²+MF²–2•ME•MF•cosα;

(4√2)²=(2√(14))²+(2√(14))²–2•2√(14)•2√(14)•сosα.

cosα=5/7.

4) скалярное произведение векторов (MA+MC)•ME.

Cумма вектров МА и МС – диагональ параллелограмма,построенного на этих векторах и выходящая из точки М. Половина этой диагонали – вектор МО

Скалярное произведение векторов 2MO и MЕ равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Угол между ними – это угол ОМЕ.

Из прямоугольного треугольника ОМЕ косинус угла ОМЕ равен отношению прилежащего катета МO к гипотенузе МЕ.

сos∠OME=MO/ME=4√3/2√14=2√3/√14.

Скалярное произведение указанных векторов равно

2•(4√3)•(2√14)•(2√3/√14)=96

5) площадь описанной около пирамиды сферы

Найдем радиус сферы. Это радиус окружности, описанной около треугольника АМС.

Треугольник АМС – равносторонний, МА=МС=АС=8.

По формуле

R=abc/4S=(8•8•8)/(4•(8•8•√3/4))=8√3/3

S=4πR²=4π•(8/√3)²=256π/3.

6) угол между АМ и плоскостью DMC

это угол между прямой АМ и ее проекцией на плоскость DMC.

Из точки А проводим перпендикуляр к плоскости DMC.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Этот перпендикуляр есть AD .

AD⊥СD ( стороны квадрата перпендикулярны)

AD⊥МК ( МК⊥СD).

Значит MD – проекция AM.

Угол AMD – между прямой AM и плоскостью MDC.

По теореме косинусов из треугольника AMD:

AD²=AM²+MD²–2•AM•MD•cosβ

(4√2)²=(8)²+(8)²–2•8•8•сosβ.

сosβ=3/4.

Пошаговое объяснение:

Обьяснения приложенны

Answer 2

Для решения данной задачи вам понадобится знание тригонометрии, геометрии и векторной алгебры. Давайте рассмотрим каждый пункт по очереди:

a) Площадь боковой поверхности пирамиды: Площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле: S = (периметр основания) * (половина высоты боковой грани).

Так как пирамида правильная, все её боковые грани равны, и её основание — правильный многоугольник. Для правильной пирамиды с основанием n-угольника с длиной стороны a и высотой h, периметр основания равен P = n * a, а площадь одной боковой грани S' = (1/2) * a * h.

Дано: сторона основания a = OD = 12 и угол наклона к плоскости основания α = 60°.

Так как у пирамиды правильного треугольного основания угол между боковыми гранями равен 60°, то у нашей пирамиды угол между противоположными боковыми гранями тоже будет 60°.

b) Объем пирамиды: Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S' * h.

Для нахождения высоты пирамиды (h) воспользуемся тригонометрией. В прямоугольном треугольнике ОДТ (где ОТ — высота пирамиды, проведенная из вершины О перпендикулярно плоскости основания) с углом α = 60° и гипотенузой ОД = 12 (стороной основания) найдем высоту ОТ:

sin(α) = противолежащий катет / гипотенуза sin(60°) = ОТ / 12 (√3 / 2) = ОТ / 12 ОТ = 12 * (√3 / 2) = 6√3

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности S' и объем V:

S' = (1/2) * a * h = (1/2) * 12 * 6√3 = 36√3 кв.ед.

V = (1/3) * S' * h = (1/3) * 36√3 * 6√3 = 72√3 куб.ед.

c) Угол между противоположными боковыми гранями: Как было указано ранее, угол между противоположными боковыми гранями пирамиды равен 60°.

d) Угол между боковой гранью и плоскостью основания: Угол между боковой гранью и плоскостью основания также равен 60°.

e) Скалярное произведение векторов ОТ и ТА: Скалярное произведение векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними.

Длина вектора ОТ мы уже нашли ранее: |ОТ| = 6√3.

Так как пирамида правильная, точка Т (основание высоты) лежит на середине ребра ОА (потому что пирамида правильная, и медианы в правильных треугольниках совпадают с высотами). Значит, |ТА| = |ТО| = 6√3.

Угол между векторами ОТ и ТА составляет 180° (прямая линия).

Теперь можем вычислить скалярное произведение:

ОТ · ТА = |ОТ| * |ТА| * cos(угол между векторами) = 6√3 * 6√3 * cos(180°) = -108.

f) Радиус описанного около пирамиды шара: Радиус описанного около пирамиды шара равен половине длины диагонали основания (n-угольника).

Диагональ правильного треугольника (треугольника с углом 60°) равна a * √3.

Радиус описанного около пирамиды шара равен R = (1/2) * a * √3 = (1/2) * 12 * √3 = 6√3.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу!