Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+1 и y=x+1

Answer 1

Ответ: S≈0,167 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=x²+1      y=x+1    S=?

x²+1=x+1

x²-x=0

x*(x-1)=0

x₁=0         x₂=1    ⇒

S=₀∫¹(x+1-(x²+1)dx=₀∫¹(x+1-x²-1)dx=₀∫¹(x-x²)dx=(x²/2-x³/3)  ₀|¹=

=(1²/2)-(1³/3)=(1/2)-(1/3)=(3-2)/6=1/6≈0,167.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения, а затем вычислить интеграл площади между ними. В данном случае, нам нужно найти точки пересечения кривых y = -x^2 + 1 и y = x + 1.

Приравниваем уравнения кривых друг к другу: -x^2 + 1 = x + 1

Теперь решим это уравнение: -x^2 - x + 1 - 1 = 0 -x^2 - x = 0 x^2 + x = 0

Факторизуем левую часть: x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два значения x:

1. x = 0
2. x + 1 = 0 => x = -1

Теперь найдем соответствующие значения y:

1. При x = 0: y = -0^2 + 1 = 1
2. При x = -1: y = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0

Теперь у нас есть две точки пересечения: (0, 1) и (-1, 0).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно вычислить определенный интеграл площади между этими двумя точками.

Площадь фигуры (S) = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где a = -1, b = 0 (x-координаты точек пересечения), f(x) = x + 1 (верхняя функция), g(x) = -x^2 + 1 (нижняя функция).

Теперь вычислим интеграл: S = ∫[-1, 0] ((x + 1) - (-x^2 + 1)) dx S = ∫[-1, 0] (x + 1 + x^2 - 1) dx S = ∫[-1, 0] (x^2 + x) dx

Интегрируем: S = (1/3)x^3 + (1/2)x^2 |[-1, 0] S = [(1/3)(0)^3 + (1/2)(0)^2] - [(1/3)(-1)^3 + (1/2)(-1)^2] S = [0 - 0] - [(-1/3) + (1/2)] S = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = -x^2 + 1 и y = x + 1, равна 1/6 квадратных единицы.