Question

СРОЧНО! Определите все a, при каждом из которых неравенство 3sinx-4cosx≤a имеет хотя бы одно решение

Answer 1

$f(x)=3\sin{x}-4\cos{x}=-5(\frac{4}{5} \cos{x}-\frac{3}{5} \sin{x})=\\-5\cos{(x+\arccos{0.8} )}$

Графиком этой функции является cosx, который растянут в 5 раз по ординате, смещён влево на arccos 0.8 и перевёрнут. Главное, что максимальное и минимальное ЗНАЧЕНИЕ это 5 и -5 т.к. |cosx|≤1.

Так вот если рассматривать функцию y=f(x)+p, то когда |p|=5 график Y будет касаться оси Ох своими экстремумами, соответственное когда p<-5, то график будет полностью ниже Ох, то есть <0, а когда p>5 --> y>0. Нам необходимо, чтобы касаний было хотя бы одно (от 1 до бесконечности), а учитывая, что знак ≤, то имеем:

f(x)+p≤0, при p≤5, а значит если f(x)≤a, то a≤-5.

Для ясности картины смотри вниз.

Ответ: a∈(-∞;-5]

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра "a", при которых неравенство 3sin(x) - 4cos(x) ≤ a имеет хотя бы одно решение, нужно рассмотреть ограничения на "a", чтобы гарантировать существование решения.

Данное неравенство может быть переписано в виде:

3sin(x) - 4cos(x) - a ≤ 0

Теперь обратим внимание на то, что левая часть неравенства представляет собой линейную комбинацию синуса и косинуса с переменным аргументом "x". Такие выражения можно представить как сумму двух гармонических функций с различными амплитудами.

Общий вид гармонической функции выглядит так:

A * sin(x + φ)

где A - амплитуда, φ - сдвиг по фазе.

В нашем случае, у нас есть:

3sin(x) - 4cos(x) = A * sin(x + φ)

где A = √(3^2 + (-4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Теперь, чтобы найти фазовый сдвиг φ, рассмотрим соотношение между 3sin(x) и 4cos(x):

3sin(x) - 4cos(x) = 5sin(x + φ)

Сравнивая коэффициенты перед sin(x), получаем:

3 = 5 * sin(φ)

sin(φ) = 3/5

φ = arcsin(3/5)

Таким образом, наше исходное неравенство может быть записано в виде:

5sin(x + arcsin(3/5)) ≤ a

Теперь вспомним свойства синусоиды: -1 ≤ sin(x) ≤ 1 для всех x.

Это означает, что минимальное и максимальное значение выражения 5sin(x + arcsin(3/5)) равны:

-5 ≤ 5sin(x + arcsin(3/5)) ≤ 5

Итак, чтобы неравенство 5sin(x + arcsin(3/5)) ≤ a имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось:

-5 ≤ a ≤ 5

Таким образом, множество всех возможных значений "a" удовлетворяющих условию имеет вид:

-5 ≤ a ≤ 5

При любом "a" из этого интервала неравенство 3sin(x) - 4cos(x) ≤ a имеет хотя бы одно решение.