Question

Решить дифференциальное уравнение: y’’=2(y’-1)ctgx

Answer 1

Я написал решение на двух листках ===>>

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка, которое записано в форме y'' = 2(y' - 1)ctgx, мы будем использовать метод вариации постоянных.

Шаг 1: Найдем общее решение однородного уравнения.

Дифференциальное уравнение без правой части (однородное) имеет вид: y'' - 2y' + 2ctgx = 0

Предположим, что y имеет вид y = e^(mx), где m - неизвестная константа. Подставим это предположение в уравнение:

m^2e^(mx) - 2me^(mx) + 2ctgx = 0

Делим обе стороны на e^(mx):

m^2 - 2m + 2ctgx = 0

Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно m:

m = (2 ± √(2^2 - 412ctgx)) / 2 m = (2 ± √(4 - 8ctgx)) / 2 m = 1 ± √(1 - 2ctgx)

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = C1 * e^(x + √(1 - 2ctgx)) + C2 * e^(x - √(1 - 2ctgx))

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Шаг 3: Найдем частное решение неоднородного уравнения.

В данном случае, у нас есть правая часть уравнения -2(y' - 1)ctgx.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A * x + B, где A и B - неизвестные константы.

Тогда:

y_p' = A, y_p'' = 0.

Подставляем в исходное уравнение:

0 = 2(A - 1)ctgx.

Так как ctgx ≠ 0, то A должно быть равно 1.

Таким образом, частное решение:

y_p(x) = x + B.

Шаг 4: Записываем общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) y(x) = C1 * e^(x + √(1 - 2ctgx)) + C2 * e^(x - √(1 - 2ctgx)) + x + B.

Где C1, C2 и B - произвольные постоянные, которые могут быть найдены из начальных условий или дополнительных ограничений, если они имеются.